题目

19.表面积为9且体积为最大的长方体的体积为（B） (A.) 3sqrt(6) 8 (B.) 3sqrt(6) 4 (C.) 3sqrt(3) 8 (D.) (9)/(8)

19.表面积为9且体积为最大的长方体的体积为（B） (
A.) 3$\sqrt{6}$ 8 (
B.) 3$\sqrt{6}$ 4 (
C.) 3$\sqrt{3}$ 8 (
D.) $\frac{9}{8}$

题目解答

答案

为了找到表面积为9且体积最大的长方体的体积，我们设长方体的长、宽、高分别为 $a$、$b$、$c$。长方体的表面积由下式给出： \[2(ab + bc + ca) = 9\] 长方体的体积为： \[V = abc\] 为了使体积 $V$ 最大，我们可以使用拉格朗日乘数法或算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式）。这里，我们使用AM-GM不等式。AM-GM不等式表明，对于非负实数 $x$、$y$ 和 $z$， \[\frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}\] 当且仅当 $x = y = z$ 时，等号成立。将此应用于我们的表面积方程，我们设 $x = ab$、$y = bc$ 和 $z = ca$。那么， \[\frac{ab + bc + ca}{3} \geq \sqrt[3]{(ab)(bc)(ca)} = \sqrt[3]{a^2b^2c^2} = (abc)^{2/3}\] 给定 $ab + bc + ca = \frac{9}{2}$，我们有： \[\frac{\frac{9}{2}}{3} \geq (abc)^{2/3}\] \[\frac{3}{2} \geq (abc)^{2/3}\] 对两边立方，我们得到： \[\left(\frac{3}{2}\right)^3 \geq (abc)^2\] \[\frac{27}{8} \geq (abc)^2\] 对两边取平方根，我们得到： \[\sqrt{\frac{27}{8}} \geq abc\] \[\frac{3\sqrt{6}}{4} \geq abc\] AM-GM不等式中的等号成立当 $ab = bc = ca$，这意味着 $a = b = c$。因此，长方体是一个立方体。设 $a = b = c$。那么， \[2(a^2 + a^2 + a^2) = 9\] \[6a^2 = 9\] \[a^2 = \frac{3}{2}\] \[a = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}\] 立方体的体积为： \[V = a^3 = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^3 = \frac{6\sqrt{6}}{8} = \frac{3\sqrt{6}}{4}\] 因此，表面积为9且体积最大的长方体的体积为 $\boxed{\frac{3\sqrt{6}}{4}}$。正确选项是 $\boxed{B}$。

解析

考查要点：本题主要考查长方体表面积与体积的关系，以及如何利用不等式（如AM-GM不等式）或优化方法求解最大值问题。

解题核心思路：
当长方体的表面积固定时，其体积的最大值出现在长方体为立方体的情况下。通过算术-几何均值不等式（AM-GM不等式）或拉格朗日乘数法，可以证明此时体积达到最大。

破题关键点：

  1. 设定变量：设长方体的长、宽、高分别为$a$、$b$、$c$。
  2. 建立约束条件：根据表面积公式$2(ab + bc + ca) = 9$。
  3. 应用不等式：利用AM-GM不等式对$ab$、$bc$、$ca$进行分析，推导出体积的最大值。
  4. 验证等号条件：当且仅当$a = b = c$时，体积达到最大，即长方体为立方体。

步骤1：设定变量与约束条件
设长方体的长、宽、高分别为$a$、$b$、$c$，其表面积为：
$2(ab + bc + ca) = 9 \quad \Rightarrow \quad ab + bc + ca = \frac{9}{2}.$
体积为：
$V = abc.$

步骤2：应用AM-GM不等式
对$ab$、$bc$、$ca$应用AM-GM不等式：
$\frac{ab + bc + ca}{3} \geq \sqrt[3]{(ab)(bc)(ca)}.$
代入已知条件$ab + bc + ca = \frac{9}{2}$，得：
$\frac{\frac{9}{2}}{3} = \frac{3}{2} \geq \sqrt[3]{a^2b^2c^2} = (abc)^{\frac{2}{3}}.$
两边立方得：
$\left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8} \geq (abc)^2.$
取平方根得：
$abc \leq \sqrt{\frac{27}{8}} = \frac{3\sqrt{6}}{4}.$

步骤3：验证等号条件
当且仅当$ab = bc = ca$时，等号成立，即$a = b = c$。此时长方体为立方体，边长为$a$，代入表面积公式：
$2(3a^2) = 9 \quad \Rightarrow \quad a^2 = \frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{\sqrt{6}}{2}.$
体积为：
$V = a^3 = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^3 = \frac{6\sqrt{6}}{8} = \frac{3\sqrt{6}}{4}.$