专升本真题改编 求极限lim_(xto0)(sin(xsinfrac(1)/(x)))(xsin(1)/(x))= A.1 B.0 C.sin1 D.不存在

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用等价无穷小替换和变量代换的方法处理复合三角函数的极限问题。

解题核心思路：

1. 识别关键变量：观察到分母中的$x \sin \frac{1}{x}$在$x \to 0$时趋近于0，可将其视为整体变量$u$。
2. 变量代换简化：通过令$u = x \sin \frac{1}{x}$，将原极限转化为$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u}$，直接应用基本极限公式$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$。
3. 等价无穷小替换：当$x \to 0$时，$\sin(x \sin \frac{1}{x}) \sim x \sin \frac{1}{x}$，分子分母直接约简为1。

破题关键点：

• 确定变量趋势：通过夹逼定理证明$x \sin \frac{1}{x} \to 0$。
• 灵活选择方法：根据表达式结构选择变量代换或等价无穷小替换，简化计算。

步骤1：分析变量趋势
当$x \to 0$时，$\sin \frac{1}{x}$的取值范围为$[-1, 1]$，因此：
$|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x| \to 0.$
由夹逼定理可知，$x \sin \frac{1}{x} \to 0$。

步骤2：变量代换
令$u = x \sin \frac{1}{x}$，则当$x \to 0$时，$u \to 0$。原极限变为：
$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1.$

步骤3：等价无穷小替换验证
当$x \to 0$时，$x \sin \frac{1}{x} \to 0$，因此：
$\sin(x \sin \frac{1}{x}) \sim x \sin \frac{1}{x}.$
分子分母约简后，极限值为1。