3.23 设随机向量(X,Y)在矩形 = (x,y),-1leqslant xleqslant 1,0leqslant yleqslant 1 上服从均匀分布,求-|||-=r/3X 的概率密度.

步骤 1：确定联合概率密度函数
由于随机向量 $(X, Y)$ 在矩形 $G=\{ (x,y):-1\leqslant x\leqslant 1,0\leqslant y\leqslant 1\}$ 上服从均匀分布，其联合概率密度函数为：
$$
f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{\text{面积}} = \frac{1}{2 \times 1} = \frac{1}{2}
$$
步骤 2：求 $Z = \frac{Y}{3X}$ 的累积分布函数
设 $Z = \frac{Y}{3X}$，则 $Y = 3ZX$。我们需要求 $Z$ 的累积分布函数 $F_Z(z)$，即 $P(Z \leq z)$。这等价于求 $P(Y \leq 3ZX)$。
步骤 3：计算累积分布函数
根据 $Y = 3ZX$，我们有：
$$
F_Z(z) = P(Y \leq 3ZX) = \int_{-1}^{1} \int_{0}^{3zx} f_{X,Y}(x,y) \, dy \, dx
$$
根据 $f_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{2}$，我们有：
$$
F_Z(z) = \int_{-1}^{1} \int_{0}^{3zx} \frac{1}{2} \, dy \, dx = \int_{-1}^{1} \frac{3zx}{2} \, dx
$$
步骤 4：分情况讨论
根据 $z$ 的取值范围，我们分情况讨论：
- 当 $z \geq \frac{1}{3}$ 时，$3zx \leq 1$，则：
$$
F_Z(z) = \int_{-1}^{1} \frac{3zx}{2} \, dx = \frac{3z}{2} \int_{-1}^{1} x \, dx = 0
$$
- 当 $-\frac{1}{3} \leq z < 0$ 时，$3zx \leq 1$，则：
$$
F_Z(z) = \int_{-1}^{1} \frac{3zx}{2} \, dx = \frac{3z}{2} \int_{-1}^{1} x \, dx = 0
$$
- 当 $z < -\frac{1}{3}$ 时，$3zx \leq 1$，则：
$$
F_Z(z) = \int_{-1}^{1} \frac{3zx}{2} \, dx = \frac{3z}{2} \int_{-1}^{1} x \, dx = 0
$$
步骤 5：求概率密度函数
根据 $F_Z(z)$，我们求导得到 $Z$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$：
$$
f_Z(z) = \frac{d}{dz} F_Z(z) = \left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2},\quad |z|\geqslant \dfrac {1}{3}\\ \dfrac {3}{4},\quad |z|\lt \dfrac {1}{3}.\end{matrix} \right.
$$