已知 p=(1,1,-1) 是矩阵 =(2,-1,2;-|||-5,a,3;-1,b,-2) 的一个特征向量.-|||-(1)求参数a,b及特征向量p所对应的特征值-|||-(2)问A能不能相似对角化?并说明理由.

步骤 1：求解特征值和特征向量
根据特征向量和特征值的定义，有 $Ax=\lambda x$。将已知的特征向量 $p=(1,1,-1)$ 代入矩阵 $A$，得到 $Ap=\lambda p$。将矩阵 $A$ 和向量 $p$ 代入，得到：
$$
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 2 \\
5 & a & 3 \\
-1 & b & -2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
-1
\end{pmatrix}
=
\lambda
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
-1
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算矩阵乘法
计算矩阵乘法，得到：
$$
\begin{pmatrix}
2*1-1*1+2*(-1) \\
5*1+a*1+3*(-1) \\
-1*1+b*1-2*(-1)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 \\
a+2 \\
b+1
\end{pmatrix}
$$
步骤 3：求解参数a和b
根据特征向量的定义，有：
$$
\begin{pmatrix}
-1 \\
a+2 \\
b+1
\end{pmatrix}
=
\lambda
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
-1
\end{pmatrix}
$$
由此可得：
$$
\begin{cases}
-1 = \lambda \\
a+2 = \lambda \\
b+1 = -\lambda
\end{cases}
$$
解得：
$$
\begin{cases}
\lambda = -1 \\
a = -3 \\
b = 0
\end{cases}
$$
步骤 4：判断矩阵A是否可以相似对角化
求解矩阵A的特征值，得到：
$$
|\lambda E-A| = (\lambda +1)^3
$$
由此可得，$\lambda = -1$ 为3重特征值。再求特征向量，得到：
$$
(-E-A) = \begin{pmatrix}
-3 & 1 & -2 \\
-5 & 2 & -3 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
由此可得，$r(-E-A) = 2$，即只有一个线性无关的特征向量。因此，特征向量的个数小于矩阵A的阶数3，所以矩阵A不能相似对角化。