已知 p=(1,1,-1) 是矩阵 =(2,-1,2;-|||-5,a,3;-1,b,-2) 的一个特征向量.-|||-(1)求参数a,b及特征向量p所对应的特征值-|||-(2)问A能不能相似对角化?并说明理由.

考查要点：本题主要考查矩阵的特征值、特征向量的计算，以及矩阵相似对角化的条件判断。

解题思路：

1. 第一问：利用特征向量的定义式 $A\boldsymbol{p} = \lambda \boldsymbol{p}$，将已知向量 $\boldsymbol{p}$ 代入矩阵 $A$，通过分量比较求解参数 $a, b$ 和特征值 $\lambda$。
2. 第二问：判断矩阵是否可相似对角化的关键在于几何重数是否等于代数重数。需计算特征值的代数重数，并通过求解齐次方程 $(A - \lambda I)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的解空间维数确定几何重数。

破题关键：

• 特征向量定义的直接应用。
• 秩的计算确定解空间维数，进而判断几何重数。

第（1）题

计算矩阵与向量的乘积

根据 $A\boldsymbol{p} = \lambda \boldsymbol{p}$，计算 $A\boldsymbol{p}$：
$\begin{aligned}A\boldsymbol{p} &= \begin{pmatrix}2 & -1 & 2 \\5 & a & 3 \\-1 & b & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\1 \\-1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) \\5 \cdot 1 + a \cdot 1 + 3 \cdot (-1) \\-1 \cdot 1 + b \cdot 1 + (-2) \cdot (-1)\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}-1 \\a + 2 \\b + 1\end{pmatrix}. \end{aligned}$

建立方程求解

由 $A\boldsymbol{p} = \lambda \boldsymbol{p}$ 得：
$\begin{cases}-1 = \lambda, \\a + 2 = \lambda, \\b + 1 = -\lambda.\end{cases}$
解得 $\lambda = -1$，$a = -3$，$b = 0$。

第（2）题

求特征值

矩阵 $A$ 的特征多项式为：
$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix}\lambda - 2 & 1 & -2 \\-5 & \lambda + 3 & -3 \\1 & 0 & \lambda + 2\end{vmatrix} = (\lambda + 1)^3.$
故特征值 $\lambda = -1$ 是 3重根。

求几何重数

构造矩阵 $\lambda E - A$（$\lambda = -1$）：
$(-E - A) = \begin{pmatrix}-3 & 1 & -2 \\-5 & 2 & -3 \\1 & 0 & 1\end{pmatrix}.$
通过行变换化简得秩 $r(-E - A) = 2$，故解空间维数为 $3 - 2 = 1$，即 几何重数为1。

判断相似对角化

因几何重数（1）小于代数重数（3），矩阵 $A$ 不能相似对角化。