求下列不等式的解集：(1)13-4x^2>0；(2)(x-3)(x-7)<0；(3)x^2-3x-10>0；(4)-3x^2+5x-4>0

考查要点：本题主要考查二次不等式的解法，包括因式分解、求根、结合抛物线开口方向确定解集等步骤。

解题核心思路：

1. 整理不等式：将不等式转化为标准二次形式 $ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c < 0$；
2. 求根或判断符号：通过因式分解或求根公式找到对应方程的根；
3. 结合开口方向确定解集：根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，结合根的位置确定不等式解集。

破题关键点：

• 开口方向：二次项系数正时抛物线开口向上，负时开口向下；
• 根的位置：根将数轴分成区间，需在每个区间内判断二次函数的符号；
• 无实根情况：当判别式 $\Delta < 0$ 时，二次函数符号由开口方向直接决定。

第（1）题

原式：$13 - 4x^2 > 0$

整理不等式

将不等式变形为：
$4x^2 < 13 \quad \Rightarrow \quad x^2 < \frac{13}{4}.$

求根并解不等式

解得：
$-\frac{\sqrt{13}}{2} < x < \frac{\sqrt{13}}{2}.$

关键点：平方项系数为正，直接通过移项求解。

第（2）题

原式：$(x-3)(x-7) < 0$

分析根的位置

方程 $(x-3)(x-7) = 0$ 的根为 $x=3$ 和 $x=7$，将数轴分为三个区间：

1. $x < 3$；
2. $3 < x < 7$；
3. $x > 7$。

判断符号

• 当 $x < 3$ 或 $x > 7$ 时，$(x-3)(x-7) > 0$；
• 当 $3 < x < 7$ 时，$(x-3)(x-7) < 0$。

关键点：开口向上的抛物线在两根之间取负值。

第（3）题

原式：$x^2 - 3x - 10 > 0$

因式分解

分解为：
$(x-5)(x+2) > 0.$

分析根的位置

方程 $(x-5)(x+2) = 0$ 的根为 $x=5$ 和 $x=-2$，将数轴分为三个区间：

1. $x < -2$；
2. $-2 < x < 5$；
3. $x > 5$。

判断符号

• 当 $x < -2$ 或 $x > 5$ 时，$(x-5)(x+2) > 0$；
• 当 $-2 < x < 5$ 时，$(x-5)(x+2) < 0$。

关键点：开口向上的抛物线在两根之外取正值。

第（4）题

原式：$-3x^2 + 5x - 4 > 0$

整理不等式

两边乘以 $-1$（注意不等号方向改变）：
$3x^2 - 5x + 4 < 0.$

计算判别式

判别式 $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 25 - 48 = -23 < 0$。

分析解集

• 二次项系数 $3 > 0$，抛物线开口向上；
• $\Delta < 0$ 说明抛物线始终在 $x$ 轴上方，因此 $3x^2 - 5x + 4 < 0$ 无解。

关键点：无实根且开口向上时，原不等式无解。