今年考题 (2025，1)设n阶矩阵A，B，C满足r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n. 下面4个结论中一定正确的是 ①r(ABC)+n=r(AB)+r(C). ②r(AB)+n=r(A)+r(B). ③r(A)=r(B)=r(C)=n. ④r(AB)=r(BC)=n. (A.)①②. (B.)①③. (C.)②④. (D.)③④.

由题意，有 $ r(A) + r(B) + r(C) = r(ABC) + 2n $。 分析选项： - **选项①**：无法直接推导出 $ r(ABC) + n = r(AB) + r(C) $，不成立。 - **选项②**：无法直接推导出 $ r(AB) + n = r(A) + r(B) $，不成立。 - **选项③**：若 $ r(A) = r(B) = r(C) = n $，则 $ r(ABC) = n $，满足条件，成立。 - **选项④**：若 $ r(AB) = r(BC) = n $，则 $ r(A) = r(B) = r(C) = n $，满足条件，成立。 **答案：** \[ \boxed{D} \]