求概率论大神！设随机变量X~P(入)且P(X=1)=P(X=2),求P(X=4)

考查要点：本题主要考查泊松分布的概率公式及其应用，以及通过已知条件求解参数λ的能力。

解题核心思路：

1. 利用泊松分布的概率公式，分别写出P{X=1}和P{X=2}的表达式；
2. 根据题目条件建立方程，解出参数λ的值；
3. 代入泊松分布公式，计算所求概率P{X=4}。

破题关键点：

• 正确写出泊松分布的概率公式，并注意分母的阶乘项；
• 通过等式消去公共因子，简化方程求解λ；
• 代入计算时注意阶乘和指数运算的准确性。

泊松分布的概率质量函数为：
$P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$

步骤1：根据条件列方程
已知P{X=1} = P{X=2}，代入公式得：
$\frac{\lambda^1}{1!} e^{-\lambda} = \frac{\lambda^2}{2!} e^{-\lambda}$

步骤2：消去公共因子
两边同时除以$e^{-\lambda}$（假设$\lambda \neq 0$）：
$\lambda = \frac{\lambda^2}{2}$

步骤3：解方程求λ
整理方程：
$\lambda^2 - 2\lambda = 0 \implies \lambda(\lambda - 2) = 0$
解得$\lambda = 0$或$\lambda = 2$。由于$\lambda = 0$时泊松分布退化为仅在0处有概率，与题意矛盾，故取$\lambda = 2$。

步骤4：计算P{X=4}
代入公式：
$P(X=4) = \frac{2^4}{4!} e^{-2} = \frac{16}{24} e^{-2} = \frac{2}{3} e^{-2}$