题目

n个人进行排序，求a，b两人间恰好有r个人的概率(0leqslant rleqslant n-2).

n个人进行排序，求a，b两人间恰好有r个人的概率$$(0\leqslant r$$$$\leqslant n-2)$$.

题目解答

答案

n个人进行排列，基本事件数为$$n!$$，a，b两人间恰好有r个人，设a排在第i位，则b排在$$i+r+1$$位，所以只能取1,2，……，n,$$r-1$$，共$$n-r-1$$种排法，其余$$n-2$$个位置是$$n-2$$个人全排列，有$$(n-2)!$$种排法，a, b有2种排法，故事件数为$$2(n-r-1)(n-2)!$$，所以概率为$$p=\frac{2(n-r-1)(n-2)!}{n!}$$$$=\frac{2(n-r-1)}{n(n-1)}$$

解析

考查要点：排列组合中的位置限制问题，概率计算的基本方法。

解题核心思路：

  1. 确定总事件数：n个人的全排列为$n!$。
  2. 分析a、b的位置关系：要求两人之间恰好有r人，即两人间隔$r+1$个位置，需考虑位置的合法性。
  3. 计算符合条件的排列数：通过位置选择、排列组合分步计算。
  4. 概率公式推导：将符合条件的排列数除以总排列数。

破题关键点：

  • 位置约束：若a在第$i$位，则b必须在第$i + r + 1$位，需保证$i + r + 1 \leq n$。
  • 对称性：a和b的位置可互换，需乘以2种排列方式。

步骤1：计算总事件数

n个人的排列总数为：
$n!$

步骤2：确定a、b的位置

  1. 位置约束：设a排在第$i$位，则b必须排在第$i + r + 1$位。
  2. 合法性条件：$i + r + 1 \leq n$，即$i \leq n - r - 1$。
  3. 位置选择数：$i$的取值范围为$1, 2, \dots, n - r - 1$，共$n - r - 1$种可能。
  4. 排列方式：a和b有两种排列顺序（a在前或b在前），故总共有$2(n - r - 1)$种方式。

步骤3：计算剩余排列数

剩余$n - 2$个人在剩下的$n - 2$个位置上全排列，方式为：
$(n - 2)!$

步骤4：计算符合条件的排列总数

将各部分相乘：
$2(n - r - 1) \cdot (n - 2)!$

步骤5：计算概率

概率为符合条件的排列数除以总排列数：
$p = \frac{2(n - r - 1)(n - 2)!}{n!} = \frac{2(n - r - 1)}{n(n - 1)}$