题目
16.设 _(n)=((-1))^nln (1+dfrac (1)(sqrt {n)}), 则级数 () .-|||-A) ∑un与 sum _(n=1)^infty ({u)_(n)^2} 都收敛 (B) un与 un 都发散-|||-n=1 n=1 n=1 n=1-|||-(C)∑un收敛而 sum _(n=1)^infty ({u)_(n)}^2 发散 (D) sum _(n=1)^infty (n)_(n) 发散而 sum _(n=1)^infty ({u)_(n)^2} 收敛-|||-n=1 n=1 n=1 n=1
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n}$
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n}$ 是一个交错级数，其中 ${u}_{n}={(-1)}^{n}\ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {n}})$。根据莱布尼茨判别法，如果级数的绝对值单调递减且趋于零，则级数收敛。由于 $\ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {n}})$ 随着 $n$ 的增加而单调递减且趋于零，因此 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n}$ 收敛。
步骤 2：分析级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{{u}_{n}}^{2}$
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{{u}_{n}}^{2}$ 是一个正项级数，其中 ${{u}_{n}}^{2}={\ln}^{2}(1+\dfrac {1}{\sqrt {n}})$。由于 $\ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {n}})$ 随着 $n$ 的增加而趋于零，但其平方并不一定趋于零，因此需要进一步分析。根据比较判别法，当 $n$ 足够大时，$\ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {n}})$ 可以近似为 $\dfrac {1}{\sqrt {n}}$，因此 ${{u}_{n}}^{2}$ 可以近似为 $\dfrac {1}{n}$。由于 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$ 是一个发散的调和级数，因此 $\sum _{n=1}^{\infty }{{u}_{n}}^{2}$ 也发散。
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n}$ 是一个交错级数，其中 ${u}_{n}={(-1)}^{n}\ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {n}})$。根据莱布尼茨判别法，如果级数的绝对值单调递减且趋于零，则级数收敛。由于 $\ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {n}})$ 随着 $n$ 的增加而单调递减且趋于零，因此 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n}$ 收敛。
步骤 2：分析级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{{u}_{n}}^{2}$
级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{{u}_{n}}^{2}$ 是一个正项级数，其中 ${{u}_{n}}^{2}={\ln}^{2}(1+\dfrac {1}{\sqrt {n}})$。由于 $\ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {n}})$ 随着 $n$ 的增加而趋于零，但其平方并不一定趋于零，因此需要进一步分析。根据比较判别法，当 $n$ 足够大时，$\ln (1+\dfrac {1}{\sqrt {n}})$ 可以近似为 $\dfrac {1}{\sqrt {n}}$，因此 ${{u}_{n}}^{2}$ 可以近似为 $\dfrac {1}{n}$。由于 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$ 是一个发散的调和级数，因此 $\sum _{n=1}^{\infty }{{u}_{n}}^{2}$ 也发散。