。(3)函数 sqrt (2+x-{x)^2} 的定义域及值域分别为() ()(3)函数 sqrt (2+x-{x)^2} 的定义域及值域分别为() ()

考查要点：本题主要考查二次函数的定义域和值域的求解，涉及二次不等式的解法及函数最值的计算。

解题核心思路：

1. 定义域：由根式内部表达式非负，解二次不等式 $2 + x - x^2 \geq 0$，确定定义域。
2. 值域：分析二次函数 $2 + x - x^2$ 的最大值和最小值，结合平方根的非负性，得到值域。

破题关键点：

• 二次不等式解法：通过求根确定开口方向，结合抛物线图像判断解集区间。
• 二次函数最值：利用顶点公式求开口向下抛物线的最高点，确定最大值。

1. 求定义域

根式内部表达式 $2 + x - x^2$ 需满足非负性：
$2 + x - x^2 \geq 0$
步骤1：解方程 $2 + x - x^2 = 0$
整理方程为标准形式：
$-x^2 + x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - x - 2 = 0$
因式分解得：
$(x - 2)(x + 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \text{ 或 } x = -1$

步骤2：确定解集区间
二次项系数为 $-1$，抛物线开口向下，因此表达式在两根之间非负：
$\text{解集为 } [-1, 2]$

2. 求值域

函数 $\sqrt{2 + x - x^2}$ 的值域由根式内部表达式的取值范围决定。

步骤1：求二次函数的最大值
二次函数 $f(x) = -x^2 + x + 2$ 开口向下，顶点横坐标为：
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2}$
代入顶点横坐标求最大值：
$f\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + 2 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 2 = \frac{9}{4}$

步骤2：确定值域
根式内部表达式的取值范围为 $[0, \frac{9}{4}]$，因此：
$\sqrt{2 + x - x^2} \in \left[0, \sqrt{\frac{9}{4}}\right] = \left[0, \frac{3}{2}\right]$