题目

。(3)函数 sqrt (2+x-{x)^2} 的定义域及值域分别为() ()(3)函数 sqrt (2+x-{x)^2} 的定义域及值域分别为() ()

。 $\begin{aligned} (3)函数\sqrt{2+x-x^2}\text{ 的定义域及值域分别为()} \\ \end{aligned}$

$\begin{aligned} &&&\text{(A)定义域为}\left[-1,2\right],\quad\text{值域为}\left[0,\frac32\right]\quad\quad\text{(B)定义域为}\left[-1,1\right],\quad\text{值域为}\left[0,\frac32\right] \\ &&&(\text{C})\text{ 定义域为}[-1,2],\text{ 值域为}[0,1]\quad\quad(\text{D})\text{ 定义域为}[-1,1],\text{ 值域为}[0,1] \\ \end{aligned}$

题目解答

答案

首先，我们要求解不等式 $2+x-x^2 \geq 0$ ，可以通过分析一元二次方程的图像或求解方程 $2+x-x^2 = 0$ 来确定其解集。

解方程 $2+x-x^2 = 0$ $2+x-x^2 = 0$ ，得到 x = -1 和 x = 2，所以不等式的解集为 [-1, 2]。

接下来，我们求函数的最大值和最小值。注意到 $\sqrt{2+x-x^2}$ 是非负函数，所以最小值为 0。要确定最大值，可以求导数或观察函数的图像。函数 $2+x-x^2$ 是一个开口向下的二次函数，因此在定义域内最大值发生在函数的顶点。顶点的横坐标可以通过求解方程 $x = -\frac{b}{2a}$ 得到，其中 a=-1，b=1，所以顶点的横坐标为 $x = \frac{1}{2}$ 。将横坐标代入函数，得到最大值为 $\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ 。

综上所述，函数 $\sqrt{2+x-x^2}$ 的定义域为 [-1, 2]，值域为 $[0, \frac{3}{2}]$ ，因此选项 (A) 是正确答案。

解析

考查要点：本题主要考查二次函数的定义域和值域的求解，涉及二次不等式的解法及函数最值的计算。

解题核心思路：

定义域：由根式内部表达式非负，解二次不等式 $2 + x - x^2 \geq 0$，确定定义域。
值域：分析二次函数 $2 + x - x^2$ 的最大值和最小值，结合平方根的非负性，得到值域。

破题关键点：

二次不等式解法：通过求根确定开口方向，结合抛物线图像判断解集区间。
二次函数最值：利用顶点公式求开口向下抛物线的最高点，确定最大值。

1. 求定义域

根式内部表达式 $2 + x - x^2$ 需满足非负性：
$2 + x - x^2 \geq 0$
步骤1：解方程 $2 + x - x^2 = 0$
整理方程为标准形式：
$-x^2 + x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - x - 2 = 0$
因式分解得：
$(x - 2)(x + 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \text{ 或 } x = -1$

步骤2：确定解集区间
二次项系数为 $-1$，抛物线开口向下，因此表达式在两根之间非负：
$\text{解集为 } [-1, 2]$

2. 求值域

函数 $\sqrt{2 + x - x^2}$ 的值域由根式内部表达式的取值范围决定。

步骤1：求二次函数的最大值
二次函数 $f(x) = -x^2 + x + 2$ 开口向下，顶点横坐标为：
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2}$
代入顶点横坐标求最大值：
$f\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + 2 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 2 = \frac{9}{4}$

步骤2：确定值域
根式内部表达式的取值范围为 $[0, \frac{9}{4}]$，因此：
$\sqrt{2 + x - x^2} \in \left[0, \sqrt{\frac{9}{4}}\right] = \left[0, \frac{3}{2}\right]$