已知 '(x)cdot (int )_(0)^2f(x)dx=8, 且 (0)=0, (x)geqslant 0, 则 f(x)= __

考查要点：本题主要考查微积分中的积分与导数的综合应用，涉及微分方程的求解及积分常数的确定。

解题核心思路：

1. 引入积分常数：设定积分 $\int_{0}^{2} f(x)dx = A$，将原方程转化为关于 $A$ 的方程。
2. 求导与积分关系：通过原方程 $f'(x) \cdot A = 8$，得出 $f'(x)$ 为常数，从而确定 $f(x)$ 的表达式。
3. 代入求解常数：利用初始条件 $f(0)=0$ 确定积分常数，并通过代入积分表达式求出 $A$ 的具体值。

破题关键点：

• 分离变量：将积分结果视为常数，简化方程形式。
• 非负性条件：确保最终函数表达式满足 $f(x) \geq 0$。

步骤1：设积分结果为常数
设 $\int_{0}^{2} f(x)dx = A$，则原方程变为：
$f'(x) \cdot A = 8 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{8}{A}.$

步骤2：求原函数表达式
对 $f'(x)$ 积分得：
$f(x) = \frac{8}{A} x + C.$
利用初始条件 $f(0) = 0$，代入得 $C = 0$，故：
$f(x) = \frac{8}{A} x.$

步骤3：代入积分求常数 $A$
将 $f(x)$ 代入 $A = \int_{0}^{2} f(x)dx$：
$A = \int_{0}^{2} \frac{8}{A} x \, dx = \frac{8}{A} \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{8}{A} \cdot \frac{4}{2} = \frac{16}{A}.$
解得：
$A^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad A = 4 \quad (\text{因 $f(x) \geq 0$，积分结果为正}).$

步骤4：确定最终表达式
将 $A = 4$ 代入 $f(x)$，得：
$f(x) = \frac{8}{4} x = 2x.$
验证 $f(x) = 2x \geq 0$ 在 $x \geq 0$ 时成立，符合题意。