4.已知 (x)(int )_(0)^xf(t)dt=1(xneq 0), 试求函数f(x)的一般表-|||-达式.

考查要点：本题主要考查微分方程的建立与求解，以及积分与导数的相互关系。关键在于通过引入积分函数，将原方程转化为可分离变量的微分方程。

解题思路：

1. 引入辅助函数：设 $F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$，利用微积分基本定理，$F'(x) = f(x)$。
2. 转化方程：将原方程 $f(x)F(x) = 1$ 转化为微分方程 $F(x)F'(x) = 1$。
3. 分离变量求解：通过分离变量积分，结合初始条件 $F(0) = 0$ 确定常数，最终得到 $f(x)$ 的表达式。

破题关键：通过引入积分函数 $F(x)$，将积分与导数的关系显式化，从而将原方程转化为微分方程。

步骤1：定义积分函数
令 $F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$，根据微积分基本定理，其导数为 $F'(x) = f(x)$。

步骤2：转化原方程
原方程 $f(x)F(x) = 1$ 可改写为：
$F(x)F'(x) = 1 \quad (x \neq 0)$

步骤3：分离变量并积分
将方程改写为 $F(x) \, dF(x) = dx$，两边积分得：
$\int F(x) \, dF(x) = \int dx \implies \frac{1}{2}F(x)^2 = x + C$
其中 $C$ 为积分常数。

步骤4：确定常数 $C$
当 $x \to 0$ 时，$F(x) \to 0$，代入得：
$\frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0 + C \implies C = 0$
因此方程简化为：
$F(x)^2 = 2x \implies F(x) = \pm \sqrt{2x}$

步骤5：求导得 $f(x)$
对 $F(x) = \pm \sqrt{2x}$ 求导：
$F'(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2x}} \quad (x \neq 0)$
因此 $f(x) = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2x}}$。

验证：
无论取正号还是负号，$F(x)F'(x) = \sqrt{2x} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2x}} = 1$ 或 $(-\sqrt{2x}) \cdot \left(-\dfrac{1}{\sqrt{2x}}\right) = 1$，均满足原方程。