设 A, B 均是 n 阶矩阵, 且 ((AB))^2=E , 则必有A) ((AB))^2=EB) ((AB))^2=EC) ((AB))^2=ED) ((AB))^2=E

步骤 1：分析和应用题目条件
- 已知条件：${(AB)}^{2}=E$ 。其中， E 是单位矩阵。
- 展开条件得到： ABAB = E 。
步骤 2：检验选项A ${A}^{2}{B}^{2}=E$
- 尝试将 ABAB 重写为 ${A}^{2}{B}^{2}$ 。
- 由于矩阵乘法一般不满足交换律，所以无法直接从 ABAB 得到 ${A}^{2}{B}^{2}$ 。因此，选项A未必正确。
步骤 3：检验选项B ${B}^{2}{A}^{2}=E$
- 同样，尝试将 ABAB 重写为 ${B}^{2}{A}^{2}$ 。
- 由于矩阵乘法的非交换性，无法从 ABAB 直接得到 ${B}^{2}{A}^{2}$ 。因此，选项B未必正确。
步骤 4：检验选项C ${(BA)}^{2}=E$
- 将 ABAB 改写为 (BA)(BA) 需要将AB和BA交换位置，这在一般情况下是不允许的。
- 但是，由于已知 ABAB = E ，可以尝试对这个等式进行变形以检验 ${(BA)}^{2}$ 是否等于 E 。
- 通过在等式两边同时乘以 A 和 B ，我们得到 B(ABAB)A = BEA 。
- 由于 E 是单位矩阵， BEA = BA ，所以我们得到 BABA = BA ，这意味着 ${(BA)}^{2}=BA$ 。
- 因此，我们无法从 ABAB = E 直接推出 ${(BA)}^{2}=E$ 。选项C未必正确。
步骤 5：检验选项D ${A}^{-1}=B$
- 从 ABAB = E ，我们可以两边左乘以 ${A}^{-1}$ 和右乘以 ${B}^{-1}$ 得到 ${A}^{-1}ABA{BB}^{-1}={A}^{-1}{EB}^{-1}$。
- 简化后得到 ${A}^{-1}{AEB{B}^{-1}}={A}^{-1}{B}^{-1}$ 。
- 由于 ${A}^{-1}A=E$ 和 ${BB}^{-1}=E$ ，得到 ${E}^{2}={A}^{-1}{B}^{-1}$ 。
- 由于 ${E}^{2}=E$ ，我们得到 $E={A}^{-1}{B}^{-1}$ 。这意味着 ${A}^{-1}=B$。
- 因此，选项D是正确的。