题目
在平面x+2y+2z=9上求一点,使其到原点的距离最短。
在平面x+2y+2z=9上求一点,使其到原点的距离最短。
题目解答
答案
解:设所求点P(x,y,z)
到原点的距离 
又由柯西不等式得
当且仅当 
时等号成立
解得x=1,y=2，z=2
即P(1,2,2)到原点距离最短，距离OP=
解析
步骤 1：定义目标函数
设所求点P(x,y,z)到原点的距离为$OP=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，我们的目标是找到这个距离的最小值。
步骤 2：应用柯西不等式
根据柯西不等式，我们有$({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})({1}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2})\geqslant {(x+2y+2z)}^{2}$。由于x+2y+2z=9，代入得到$({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})\times 9\geqslant 81$，从而$({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})\geqslant 9$。
步骤 3：确定等号成立条件
等号成立的条件是$\dfrac {x}{1}=\dfrac {y}{2}=\dfrac {z}{2}$，即x=1,y=2,z=2。将这些值代入平面方程x+2y+2z=9，验证它们满足条件。
步骤 4：计算最短距离
将x=1,y=2,z=2代入$OP=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，得到$OP=\sqrt {{1}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}=3$。
设所求点P(x,y,z)到原点的距离为$OP=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，我们的目标是找到这个距离的最小值。
步骤 2：应用柯西不等式
根据柯西不等式，我们有$({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})({1}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2})\geqslant {(x+2y+2z)}^{2}$。由于x+2y+2z=9，代入得到$({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})\times 9\geqslant 81$，从而$({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})\geqslant 9$。
步骤 3：确定等号成立条件
等号成立的条件是$\dfrac {x}{1}=\dfrac {y}{2}=\dfrac {z}{2}$，即x=1,y=2,z=2。将这些值代入平面方程x+2y+2z=9，验证它们满足条件。
步骤 4：计算最短距离
将x=1,y=2,z=2代入$OP=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，得到$OP=\sqrt {{1}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}=3$。