题目
设矩阵1 2 1可逆,向量1 2 1是矩阵1 2 1对应于特征值λ的一个特征向量,b>0, 则λ=____
设矩阵
可逆,向量
是矩阵
对应于特征值λ的一个特征向量,b>0, 则λ=____
题目解答
答案
因为矩阵A可逆，所以|A|≠ 0。
= 2(2a - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - 2)
= 4a - 2 - a + 1 - 1
= 3a - 2
由|A| ≠ 0，可得3a-2≠0，即
因为α是对应于特征值λ的特征向量，所以
又因为
,
所以
, 即
,
则
又有
综上则有：
可得方程组：
①-③，得(3 + b) -(a + b + 1)=0，即a = 2
因为b>0,①×b-②，得b(b+3)-2b-2=0,即(b-1)(b+2)=0, 解得b=1或者-2
因为b > 0，所以b = 1
将a，b值代入①得：3+1=(3×2-2)λ
解得λ=1
故答案是：1
解析
步骤 1：计算矩阵A的行列式
首先，我们需要计算矩阵A的行列式，以确保矩阵A可逆。矩阵A的行列式为：
$$
|A| = 2(2a - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - 2) = 4a - 2 - a + 1 - 1 = 3a - 2
$$
由于矩阵A可逆，所以行列式不为零，即$3a - 2 \neq 0$，从而$a \neq \frac{2}{3}$。
步骤 2：利用特征向量的性质
已知向量$x={(1,b,1)}^{T}$是矩阵${A}^{*}$对应于特征值λ的一个特征向量，所以有：
$$
{A}^{*}x = \lambda x
$$
由于${A}^{*} = |A|{A}^{-1}$，所以有：
$$
|A|{A}^{-1}x = \lambda x
$$
即：
$$
|A|x = \lambda Ax
$$
步骤 3：计算Ax
计算Ax，得到：
$$
Ax = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & a & b \\
1 & b & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
b \\
1
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
2 + b + 1 \\
1 + ab + b \\
1 + b + 2
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
3 + b \\
1 + ab + b \\
3 + b
\end{pmatrix}
$$
步骤 4：利用特征值的性质
由于$|A|x = \lambda Ax$，所以有：
$$
\begin{pmatrix}
3a - 2 \\
3a - 2 \\
3a - 2
\end{pmatrix}
= \lambda
\begin{pmatrix}
3 + b \\
1 + ab + b \\
3 + b
\end{pmatrix}
$$
由此得到方程组：
$$
\begin{cases}
3a - 2 = \lambda(3 + b) \\
3a - 2 = \lambda(1 + ab + b) \\
3a - 2 = \lambda(3 + b)
\end{cases}
$$
步骤 5：解方程组
由方程组的前两个方程，得到：
$$
3 + b = 1 + ab + b
$$
化简得：
$$
2 = ab
$$
由方程组的前两个方程，得到：
$$
3a - 2 = \lambda(3 + b)
$$
将$a = 2$代入，得到：
$$
3 \times 2 - 2 = \lambda(3 + b)
$$
化简得：
$$
4 = \lambda(3 + b)
$$
由于$b > 0$，所以$b = 1$，代入上式，得到：
$$
4 = \lambda(3 + 1)
$$
化简得：
$$
\lambda = 1
$$
首先，我们需要计算矩阵A的行列式，以确保矩阵A可逆。矩阵A的行列式为：
$$
|A| = 2(2a - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - 2) = 4a - 2 - a + 1 - 1 = 3a - 2
$$
由于矩阵A可逆，所以行列式不为零，即$3a - 2 \neq 0$，从而$a \neq \frac{2}{3}$。
步骤 2：利用特征向量的性质
已知向量$x={(1,b,1)}^{T}$是矩阵${A}^{*}$对应于特征值λ的一个特征向量，所以有：
$$
{A}^{*}x = \lambda x
$$
由于${A}^{*} = |A|{A}^{-1}$，所以有：
$$
|A|{A}^{-1}x = \lambda x
$$
即：
$$
|A|x = \lambda Ax
$$
步骤 3：计算Ax
计算Ax，得到：
$$
Ax = \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & a & b \\
1 & b & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
b \\
1
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
2 + b + 1 \\
1 + ab + b \\
1 + b + 2
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
3 + b \\
1 + ab + b \\
3 + b
\end{pmatrix}
$$
步骤 4：利用特征值的性质
由于$|A|x = \lambda Ax$，所以有：
$$
\begin{pmatrix}
3a - 2 \\
3a - 2 \\
3a - 2
\end{pmatrix}
= \lambda
\begin{pmatrix}
3 + b \\
1 + ab + b \\
3 + b
\end{pmatrix}
$$
由此得到方程组：
$$
\begin{cases}
3a - 2 = \lambda(3 + b) \\
3a - 2 = \lambda(1 + ab + b) \\
3a - 2 = \lambda(3 + b)
\end{cases}
$$
步骤 5：解方程组
由方程组的前两个方程，得到：
$$
3 + b = 1 + ab + b
$$
化简得：
$$
2 = ab
$$
由方程组的前两个方程，得到：
$$
3a - 2 = \lambda(3 + b)
$$
将$a = 2$代入，得到：
$$
3 \times 2 - 2 = \lambda(3 + b)
$$
化简得：
$$
4 = \lambda(3 + b)
$$
由于$b > 0$，所以$b = 1$，代入上式，得到：
$$
4 = \lambda(3 + 1)
$$
化简得：
$$
\lambda = 1
$$