求下列不定积分int dfrac (1)({x)^3}(e)^dfrac (1{x)}dx

步骤 1：将原积分写成更易于处理的形式
原积分可以写成$\int \dfrac {1}{{x}^{3}}{e}^{\dfrac {1}{x}}dx=\int \dfrac {1}{x}\times \dfrac {1}{{x}^{2}}{e}^{\dfrac {1}{x}}dx$。
步骤 2：使用凑微分法
注意到$\dfrac {1}{{x}^{2}}{e}^{\dfrac {1}{x}}dx$可以看作是$-{e}^{\dfrac {1}{x}}$的微分，即$\dfrac {1}{{x}^{2}}{e}^{\dfrac {1}{x}}dx=d(-{e}^{\dfrac {1}{x}})$。
步骤 3：应用分部积分法
将原积分写成$-\dfrac {1}{x}d({e}^{\dfrac {1}{x}})$，然后应用分部积分法，得到$-\dfrac {1}{x}{e}^{\dfrac {1}{x}}+{\int }{e}^{\dfrac {1}{x}}d(\dfrac {1}{x})$。
步骤 4：计算积分
计算${\int }{e}^{\dfrac {1}{x}}d(\dfrac {1}{x})$，得到${e}^{\dfrac {1}{x}}$。
步骤 5：整理结果
将步骤 4 的结果代入步骤 3 的表达式中，得到$-\dfrac {1}{x}{e}^{\dfrac {1}{x}}+{e}^{\dfrac {1}{x}}+C$，其中$C$为积分常数。