12、证明方程^5+x-1=0只有一个正根。

考查要点：本题主要考查利用导数判断函数单调性，结合介值定理证明方程根的唯一性。

解题核心思路：

1. 构造函数：将方程转化为函数形式$f(x) = x^5 + x - 1$。
2. 分析单调性：通过求导证明函数在整个定义域内严格递增，从而保证方程最多有一个实根。
3. 存在性证明：通过计算特定点的函数值（如$f(0)$和$f(1)$），结合介值定理证明在区间$(0,1)$内存在一个零点。
4. 唯一性结论：结合单调性和存在性，得出方程在正实数范围内仅有一个根。

破题关键点：

• 导数恒正：$f'(x) = 5x^4 + 1 > 0$，说明函数严格递增。
• 区间端点函数值符号变化：$f(0) < 0$且$f(1) > 0$，确保存在零点。

步骤1：构造函数并求导

令$f(x) = x^5 + x - 1$，则其导数为：
$f'(x) = 5x^4 + 1$
由于$x^4 \geq 0$，故$f'(x) = 5x^4 + 1 \geq 1 > 0$，说明$f(x)$在$\mathbb{R}$上严格递增。

步骤2：分析函数值的变化

计算特定点的函数值：

• 当$x = 0$时，$f(0) = 0^5 + 0 - 1 = -1 < 0$；
• 当$x = 1$时，$f(1) = 1^5 + 1 - 1 = 1 > 0$。

步骤3：应用介值定理

由于$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且$f(0) < 0$，$f(1) > 0$，根据介值定理，存在唯一的$x_0 \in (0,1)$，使得$f(x_0) = 0$。

步骤4：唯一性证明

因为$f(x)$严格递增，当$x > x_0$时，$f(x) > f(x_0) = 0$；当$x < x_0$时，$f(x) < f(x_0) = 0$。因此，方程$x^5 + x - 1 = 0$在正实数范围内仅有一个解$x_0$。