12、证明方程^5+x-1=0只有一个正根。

步骤 1：定义函数
定义函数$f(x)={x}^{5}+x-1$，该函数是方程${x}^{5}+x-1=0$的左端。
步骤 2：求导数
求函数$f(x)$的导数$f'(x)$，得到$f'(x)=5{x}^{4}+1$。
步骤 3：分析导数的符号
由于$5{x}^{4}+1$对于所有实数$x$都是正的，即$f'(x)\gt 0$，所以函数$f(x)$在实数域上是严格单调递增的。
步骤 4：验证函数值
验证函数$f(x)$在$x=0$和$x=1$时的值，得到$f(0)=-1$和$f(1)=1$。
步骤 5：应用零点定理
由于$f(x)$在$x=0$时小于0，在$x=1$时大于0，且$f(x)$在实数域上是严格单调递增的，根据零点定理，函数$f(x)$在区间$(0,1)$内有且仅有一个零点。
步骤 6：结论
因此，方程${x}^{5}+x-1=0$在区间$(0,1)$内有唯一的实数解，即方程${x}^{5}+x-1=0$只有一个正根。