题目
16.设(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= ) 6xy,0leqslant xleqslant 1,(x)^2leqslant yleqslant 0leqslant yleqslant x.-|||-(2)(X,Y)的边缘概率密度fx(x),fy (y),并判断X,Y是否相互独立.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $P\{ (X,Y)\in D\}$
根据题目，$D:0\leqslant x\leqslant 1,{x}^{2}\leqslant y\leqslant x$，因此，$P\{ (X,Y)\in D\}$ 可以表示为：
$$
P\{ (X,Y)\in D\} = \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} 6xy \, dy \, dx
$$
步骤 2：计算边缘概率密度 $f_X(x)$
边缘概率密度 $f_X(x)$ 可以表示为：
$$
f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy = \int_{x^2}^{1} 6xy \, dy
$$
步骤 3：计算边缘概率密度 $f_Y(y)$
边缘概率密度 $f_Y(y)$ 可以表示为：
$$
f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx = \int_{0}^{\sqrt{y}} 6xy \, dx
$$
步骤 4：判断X,Y是否相互独立
如果 $f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$，则X,Y相互独立，否则不相互独立。
根据题目，$D:0\leqslant x\leqslant 1,{x}^{2}\leqslant y\leqslant x$，因此，$P\{ (X,Y)\in D\}$ 可以表示为：
$$
P\{ (X,Y)\in D\} = \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} 6xy \, dy \, dx
$$
步骤 2：计算边缘概率密度 $f_X(x)$
边缘概率密度 $f_X(x)$ 可以表示为：
$$
f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy = \int_{x^2}^{1} 6xy \, dy
$$
步骤 3：计算边缘概率密度 $f_Y(y)$
边缘概率密度 $f_Y(y)$ 可以表示为：
$$
f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx = \int_{0}^{\sqrt{y}} 6xy \, dx
$$
步骤 4：判断X,Y是否相互独立
如果 $f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$，则X,Y相互独立，否则不相互独立。