证明：3整除n(n+1)(2n+1),其中n是任何整数

步骤 1：考虑n为3的倍数的情况
当n为3的倍数时，n可以表示为3k的形式，其中k是整数。因此，n(n+1)(2n+1)可以表示为3k(3k+1)(6k+1)。由于3k是3的倍数，所以n(n+1)(2n+1)能被3整除。

步骤 2：考虑n不是3的倍数的情况
当n不是3的倍数时，n可以表示为3k+1或3k+2的形式，其中k是整数。
- 当n=3k+1时，n+1=3k+2，2n+1=6k+3=3(2k+1)。因此，n(n+1)(2n+1)可以表示为(3k+1)(3k+2)(3(2k+1))。由于3(2k+1)是3的倍数，所以n(n+1)(2n+1)能被3整除。
- 当n=3k+2时，n+1=3k+3=3(k+1)，2n+1=6k+5。因此，n(n+1)(2n+1)可以表示为(3k+2)(3(k+1))(6k+5)。由于3(k+1)是3的倍数，所以n(n+1)(2n+1)能被3整除。

步骤 3：总结
综上所述，无论n是3的倍数还是不是3的倍数，n(n+1)(2n+1)都能被3整除。