证明：3整除n(n+1)(2n+1),其中n是任何整数

考查要点：本题主要考查整除性质和分类讨论思想的应用，需要证明对于任意整数n，表达式n(n+1)(2n+1)总能被3整除。

解题核心思路：

1. 分类讨论：根据整数n除以3的余数（即n ≡0,1,2 mod3），将问题拆分为三种情况分别分析。
2. 关键观察：在任意连续的三个整数中，必有一个是3的倍数。但本题中表达式为三个因子相乘，需通过变形找到至少一个因子能被3整除。

破题关键点：

• 当n为3的倍数时，直接可证；
• 当n不是3的倍数时，通过代数变形，分析n+1或2n+1是否能被3整除。

步骤1：按n除以3的余数分类讨论

• 情况1：若n ≡0 mod3，则n是3的倍数，此时n(n+1)(2n+1)显然能被3整除。
• 情况2：若n ≡1 mod3，则n=3k+1（k为整数），此时2n+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1)，即2n+1是3的倍数。
• 情况3：若n ≡2 mod3，则n=3k+2，此时n+1=3k+3=3(k+1)，即n+1是3的倍数。

步骤2：综合三种情况
无论n是3的倍数，还是余1或余2，表达式n(n+1)(2n+1)中至少有一个因子是3的倍数，因此整个乘积能被3整除。