求球面x^2+y^2+z^2= a^2含在圆柱面x^2+y^2+z^2= a^2内部的那部分面积

步骤 1：确定球面和圆柱面的方程
球面方程为 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={a}^{2}$，圆柱面方程为 ${x}^{2}+{y}^{2}=ax$。
步骤 2：求解球面在圆柱面内部的曲面面积
首先，将球面方程改写为 $z=\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}$，然后计算偏导数 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\dfrac{\partial z}{\partial y}$。
步骤 3：计算偏导数
$\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{x}{\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}}$，$\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{y}{\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}}$。
步骤 4：计算曲面面积
曲面面积 $A=2\iint_{x^{2}+y^{2}\leqslant ax}\sqrt{1+(\dfrac{\partial z}{\partial x})^{2}+(\dfrac{\partial z}{\partial y})^{2}}dxdy$。
步骤 5：将偏导数代入曲面面积公式
$A=2\iint_{x^{2}+y^{2}\leqslant ax}\sqrt{1+\dfrac{x^{2}}{a^{2}-x^{2}-y^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}dxdy$。
步骤 6：化简曲面面积公式
$A=2\iint_{x^{2}+y^{2}\leqslant ax}\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}dxdy$。
步骤 7：转换为极坐标
令 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则 $dxdy=rdrd\theta$，且 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$。
步骤 8：计算曲面面积
$A=2\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a\cos\theta}\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}-r^{2}}}rdrd\theta$。
步骤 9：计算积分
$A=2a\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a\cos\theta}\dfrac{r}{\sqrt{a^{2}-r^{2}}}drd\theta$。
步骤 10：计算积分结果
$A=2a\int_{0}^{2\pi}[-\sqrt{a^{2}-r^{2}}]_{0}^{a\cos\theta}d\theta$。
步骤 11：计算积分结果
$A=2a\int_{0}^{2\pi}[-\sqrt{a^{2}-a^{2}\cos^{2}\theta}+\sqrt{a^{2}}]d\theta$。
步骤 12：计算积分结果
$A=2a\int_{0}^{2\pi}[-a\sin\theta+a]d\theta$。
步骤 13：计算积分结果
$A=2a^{2}\int_{0}^{2\pi}[-\sin\theta+1]d\theta$。
步骤 14：计算积分结果
$A=2a^{2}[-\cos\theta+\theta]_{0}^{2\pi}$。
步骤 15：计算积分结果
$A=2a^{2}[-\cos(2\pi)+2\pi-(-\cos(0)+0)]$。
步骤 16：计算积分结果
$A=2a^{2}[-1+2\pi-(-1+0)]$。
步骤 17：计算积分结果
$A=2a^{2}(2\pi-2)$。
步骤 18：计算积分结果
$A=4a^{2}(\pi-1)$。