题目
一张储蓄卡的密码共有6-|||-位数字,每位数字都可以从 sim 9 中任选一个.某人在-|||-银行自动提款机上取钱时,忘了密码的最后一位数-|||-字.求:-|||-(1)任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率;-|||-(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次就-|||-按对的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义事件
设第i次按对密码为事件 $A_i:(i=1,2)$ ，则 $A=A_1 \cup (A_1^c A_2)$ 表示不超过2次按对密码。
步骤 2：计算事件 $A_1$ 的概率
事件 $A_1$ 表示第一次就按对密码，因为密码的最后一位数字可以是0到9中的任意一个，所以 $P(A_1) = \frac{1}{10}$。
步骤 3：计算事件 $A_1^c A_2$ 的概率
事件 $A_1^c A_2$ 表示第一次按错，第二次按对。第一次按错的概率为 $\frac{9}{10}$，第二次按对的概率为 $\frac{1}{9}$（因为第一次按错后，剩下的9个数字中只有一个是正确的），所以 $P(A_1^c A_2) = \frac{9}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{10}$。
步骤 4：计算事件 $A$ 的概率
因为事件 $A_1$ 与事件 $A_1^c A_2$ 互斥，所以 $P(A) = P(A_1) + P(A_1^c A_2) = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{1}{5}$。
步骤 5：计算事件 $A|B$ 的概率
事件 $B$ 表示最后一位是偶数，即最后一位数字可以是0, 2, 4, 6, 8中的任意一个，所以 $P(B) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$。事件 $A|B$ 表示在事件 $B$ 发生的条件下，不超过2次按对密码的概率。因为事件 $A_1|B$ 表示在事件 $B$ 发生的条件下，第一次就按对密码的概率，所以 $P(A_1|B) = \frac{1}{5}$。事件 $A_1^c A_2|B$ 表示在事件 $B$ 发生的条件下，第一次按错，第二次按对的概率，所以 $P(A_1^c A_2|B) = \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{5}$。因为事件 $A_1|B$ 与事件 $A_1^c A_2|B$ 互斥，所以 $P(A|B) = P(A_1|B) + P(A_1^c A_2|B) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$。
设第i次按对密码为事件 $A_i:(i=1,2)$ ，则 $A=A_1 \cup (A_1^c A_2)$ 表示不超过2次按对密码。
步骤 2：计算事件 $A_1$ 的概率
事件 $A_1$ 表示第一次就按对密码，因为密码的最后一位数字可以是0到9中的任意一个，所以 $P(A_1) = \frac{1}{10}$。
步骤 3：计算事件 $A_1^c A_2$ 的概率
事件 $A_1^c A_2$ 表示第一次按错，第二次按对。第一次按错的概率为 $\frac{9}{10}$，第二次按对的概率为 $\frac{1}{9}$（因为第一次按错后，剩下的9个数字中只有一个是正确的），所以 $P(A_1^c A_2) = \frac{9}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{10}$。
步骤 4：计算事件 $A$ 的概率
因为事件 $A_1$ 与事件 $A_1^c A_2$ 互斥，所以 $P(A) = P(A_1) + P(A_1^c A_2) = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{1}{5}$。
步骤 5：计算事件 $A|B$ 的概率
事件 $B$ 表示最后一位是偶数，即最后一位数字可以是0, 2, 4, 6, 8中的任意一个，所以 $P(B) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$。事件 $A|B$ 表示在事件 $B$ 发生的条件下，不超过2次按对密码的概率。因为事件 $A_1|B$ 表示在事件 $B$ 发生的条件下，第一次就按对密码的概率，所以 $P(A_1|B) = \frac{1}{5}$。事件 $A_1^c A_2|B$ 表示在事件 $B$ 发生的条件下，第一次按错，第二次按对的概率，所以 $P(A_1^c A_2|B) = \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{5}$。因为事件 $A_1|B$ 与事件 $A_1^c A_2|B$ 互斥，所以 $P(A|B) = P(A_1|B) + P(A_1^c A_2|B) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$。