题目
讨论函数(x)=lim _(narrow infty )dfrac (1-{x)^2n}(1+{x)^2n}x-|||-__的连续性，若有间断点，判别其类型。
讨论函数
的连续性，若有间断点，判别其类型。
题目解答
答案
∵函数
该函数的定义域为
又∵存在特殊点
当
时，
所以该点为连续
同理，在
时，也连续
所以该函数连续，且没有间断点。
解析
步骤 1：确定函数的定义域
函数$f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-{x}^{2n}}{1+{x}^{2n}}x$的定义域为所有实数，因为对于任何实数$x$，$x^{2n}$都是有意义的。
步骤 2：分析函数的极限
当$n\rightarrow \infty$时，$x^{2n}$的值取决于$x$的大小。如果$|x|<1$，则$x^{2n}\rightarrow 0$；如果$|x|>1$，则$x^{2n}\rightarrow \infty$；如果$|x|=1$，则$x^{2n}=1$。因此，函数$f(x)$的极限可以分为三种情况：
- 当$|x|<1$时，$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-{x}^{2n}}{1+{x}^{2n}}x=x$。
- 当$|x|>1$时，$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-{x}^{2n}}{1+{x}^{2n}}x=-x$。
- 当$|x|=1$时，$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-{x}^{2n}}{1+{x}^{2n}}x=0$。
步骤 3：判断函数的连续性
根据步骤2的分析，函数$f(x)$在$|x|<1$和$|x|>1$时是连续的，因为函数的值随着$x$的变化而连续变化。在$|x|=1$时，函数的值为0，因此在$x=\pm 1$处函数也是连续的。因此，函数$f(x)$在整个实数域上都是连续的，没有间断点。
函数$f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-{x}^{2n}}{1+{x}^{2n}}x$的定义域为所有实数，因为对于任何实数$x$，$x^{2n}$都是有意义的。
步骤 2：分析函数的极限
当$n\rightarrow \infty$时，$x^{2n}$的值取决于$x$的大小。如果$|x|<1$，则$x^{2n}\rightarrow 0$；如果$|x|>1$，则$x^{2n}\rightarrow \infty$；如果$|x|=1$，则$x^{2n}=1$。因此，函数$f(x)$的极限可以分为三种情况：
- 当$|x|<1$时，$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-{x}^{2n}}{1+{x}^{2n}}x=x$。
- 当$|x|>1$时，$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-{x}^{2n}}{1+{x}^{2n}}x=-x$。
- 当$|x|=1$时，$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1-{x}^{2n}}{1+{x}^{2n}}x=0$。
步骤 3：判断函数的连续性
根据步骤2的分析，函数$f(x)$在$|x|<1$和$|x|>1$时是连续的，因为函数的值随着$x$的变化而连续变化。在$|x|=1$时，函数的值为0，因此在$x=\pm 1$处函数也是连续的。因此，函数$f(x)$在整个实数域上都是连续的，没有间断点。