题目

4.[判断题]如果幂级数在x=x_(0)处发散，那么对于闭区域[-|x_(0)|,|x_(0)|]内任何x，幂级数都发散。A 对B 错

4.[判断题]如果幂级数在$x=x_{0}$处发散，那么对于闭区域$[-|x_{0}|,|x_{0}|]$内任何$x$，幂级数都发散。 A 对 B 错

题目解答

答案

为了判断这个陈述的正确性，我们需要理解幂级数的性质以及它们的收敛半径。幂级数的一般形式是： \[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n \] 其中 $a_n$ 是系数，$c$ 是中心。幂级数在以 $c$ 为中心的区间内收敛，这个区间被称为收敛区间。收敛区间的半径被称为收敛半径 $R$。幂级数在 $|x - c| < R$ 处绝对收敛，在 $|x - c| > R$ 处发散。在端点 $x = c + R$ 和 $x = c - R$ 处，幂级数的收敛性需要单独检查。 现在，让我们考虑给定的陈述：如果幂级数在 $x = x_0$ 处发散，那么对于闭区域 $[-|x_0|, |x_0|]$ 内任何 $x$，幂级数都发散。 假设幂级数在 $x = x_0$ 处发散。这意味着 $|x_0 - c| \geq R$。收敛半径 $R$ 是使得幂级数收敛的 $x$ 值与中心 $c$ 之间的最大距离。因此，对于任何 $x$ 使得 $|x - c| > R$，幂级数将发散。 然而，陈述说对于闭区域 $[-|x_0|, |x_0|]$ 内任何 $x$，幂级数都发散。这并不一定正确，因为 $x_0$ 的值可能使得 $|x_0 - c| \geq R$，但区间 $[-|x_0|, |x_0|]$ 可能包括 $x$ 的值，使得 $|x - c| < R$，对于这些 $x$ 的值，幂级数将收敛。 为了说明，考虑以 $c = 0$ 为中心的幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$。这个幂级数的收敛半径是 $R = 1$。幂级数在 $|x| < 1$ 处收敛，在 $|x| > 1$ 处发散。如果 $x_0 = 2$，那么幂级数在 $x_0 = 2$ 处发散。然而，闭区域 $[-|x_0|, |x_0|] = [-2, 2]$ 包括 $x$ 的值，使得 $|x| < 1$，对于这些 $x$ 的值，幂级数收敛。 因此，陈述是错误的。正确答案是： \[ \boxed{B} \]

解析

考查要点：本题主要考查幂级数的收敛性及收敛半径的概念，重点在于理解幂级数的收敛区域与发散区域的关系。

解题核心思路：
幂级数的收敛性由收敛半径决定。若幂级数在某点发散，说明该点到中心的距离不小于收敛半径。但题目中的闭区域可能包含在收敛半径内的点，因此不能直接推断该区域内所有点都发散。

破题关键点：

  • 收敛半径的定义：幂级数在$|x - c| < R$时收敛，在$|x - c| > R$时发散。
  • 反例构造：通过具体例子说明即使$x_0$处发散，闭区域$[-|x_0|, |x_0|]$内仍可能存在收敛的点。

题目陈述：若幂级数在$x = x_0$处发散，则闭区域$[-|x_0|, |x_0|]$内所有$x$均使幂级数发散。

分析过程：

  1. 收敛半径的基本性质
    幂级数的收敛区域是以中心$c$为中心的对称区间，半径为$R$。若$|x - c| > R$，级数发散；若$|x - c| < R$，级数收敛。

  2. 题目条件的解读
    若幂级数在$x = x_0$处发散，则$|x_0 - c| \geq R$。但题目中的闭区域$[-|x_0|, |x_0|]$可能包含满足$|x - c| < R$的点，这些点对应的$x$会使级数收敛。

  3. 反例验证
    以中心$c = 0$、收敛半径$R = 1$的幂级数$\sum_{n=0}^{\infty} x^n$为例：

    • 当$x_0 = 2$时，级数发散（因$|2| > 1$）。
    • 闭区域$[-2, 2]$包含$x = 0.5$（满足$|0.5| < 1$），此时级数收敛。
    • 这说明原命题不成立。

结论：题目中的陈述是错误的，正确答案为B 错。