题目
14.利用极坐标计算下列各题:-|||-(3) iint arctan dfrac (y)(x)dsigma , 其中D是由圆周 ^2+(y)^2=4 ^2+(y)^2=1 及直线 =0, y=x 所围成-|||-的在第一象限内的闭区域.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
在极坐标系中，积分区域 $D$ 可以表示为 $D=\{ (r,\theta )|1\leqslant r \leqslant 2,0\leqslant \theta \leqslant \dfrac {\pi }{4}\} $，其中 $r$ 是极径，$\theta$ 是极角。
步骤 2：转换被积函数
在极坐标系中，$\arctan \dfrac {y}{x}=\theta$，因为 $\dfrac {y}{x}=\tan \theta$。
步骤 3：计算二重积分
将被积函数和积分区域转换为极坐标形式，得到 $\iint \arctan \dfrac {y}{x}d\sigma = \iint \theta \cdot r dr d\theta$。然后，对 $r$ 和 $\theta$ 进行积分，得到 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{1}^{2} \theta \cdot r dr d\theta$。
步骤 4：计算积分
首先对 $r$ 积分，得到 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \theta \cdot \left[\frac{1}{2}r^2\right]_{1}^{2} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \theta \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2^2 - \frac{1}{2} \cdot 1^2\right) d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \theta \cdot \frac{3}{2} d\theta$。然后对 $\theta$ 积分，得到 $\frac{3}{2} \cdot \left[\frac{1}{2}\theta^2\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 = \frac{3}{64}\pi^2$。
在极坐标系中，积分区域 $D$ 可以表示为 $D=\{ (r,\theta )|1\leqslant r \leqslant 2,0\leqslant \theta \leqslant \dfrac {\pi }{4}\} $，其中 $r$ 是极径，$\theta$ 是极角。
步骤 2：转换被积函数
在极坐标系中，$\arctan \dfrac {y}{x}=\theta$，因为 $\dfrac {y}{x}=\tan \theta$。
步骤 3：计算二重积分
将被积函数和积分区域转换为极坐标形式，得到 $\iint \arctan \dfrac {y}{x}d\sigma = \iint \theta \cdot r dr d\theta$。然后，对 $r$ 和 $\theta$ 进行积分，得到 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{1}^{2} \theta \cdot r dr d\theta$。
步骤 4：计算积分
首先对 $r$ 积分，得到 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \theta \cdot \left[\frac{1}{2}r^2\right]_{1}^{2} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \theta \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2^2 - \frac{1}{2} \cdot 1^2\right) d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \theta \cdot \frac{3}{2} d\theta$。然后对 $\theta$ 积分，得到 $\frac{3}{2} \cdot \left[\frac{1}{2}\theta^2\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 = \frac{3}{64}\pi^2$。