2.画出积分区域,并计算下列二重积分:-|||-(1) iint xsqrt (y)dsigma , 其中D是由两条抛物线 =sqrt (x) =(x)^2 所围成的闭区域;-|||-D

步骤 1：确定积分区域
首先，我们需要确定由两条抛物线 $y=\sqrt{x}$ 和 $y=x^2$ 所围成的闭区域D。这两条抛物线在x轴上的交点是(0,0)和(1,1)。因此，积分区域D可以表示为：$0 \leq x \leq 1$ 和 $x^2 \leq y \leq \sqrt{x}$。

步骤 2：设置二重积分
根据步骤1中确定的积分区域，我们可以设置二重积分如下：
$$
\iint_D x\sqrt{y} \, d\sigma = \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{\sqrt{x}} x\sqrt{y} \, dy \, dx
$$

步骤 3：计算二重积分
首先，我们计算内层积分：
$$
\int_{x^2}^{\sqrt{x}} x\sqrt{y} \, dy = x \int_{x^2}^{\sqrt{x}} \sqrt{y} \, dy = x \left[ \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} \right]_{x^2}^{\sqrt{x}} = x \left( \frac{2}{3} (\sqrt{x})^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (x^2)^{\frac{3}{2}} \right)
$$
$$
= x \left( \frac{2}{3} x^{\frac{3}{4}} - \frac{2}{3} x^3 \right) = \frac{2}{3} x^{\frac{7}{4}} - \frac{2}{3} x^4
$$
然后，我们计算外层积分：
$$
\int_{0}^{1} \left( \frac{2}{3} x^{\frac{7}{4}} - \frac{2}{3} x^4 \right) \, dx = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} x^{\frac{7}{4}} \, dx - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} x^4 \, dx
$$
$$
= \frac{2}{3} \left[ \frac{4}{11} x^{\frac{11}{4}} \right]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \left[ \frac{1}{5} x^5 \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} \left( \frac{4}{11} - 0 \right) - \frac{2}{3} \left( \frac{1}{5} - 0 \right)
$$
$$
= \frac{8}{33} - \frac{2}{15} = \frac{40}{165} - \frac{22}{165} = \frac{18}{165} = \frac{6}{55}
$$