例10]证明 (arcsin x)'=dfrac (1)(sqrt {1-{x)^2}}

考查要点：本题主要考查反三角函数的导数计算，特别是利用反函数求导法则推导$(\arcsin x)'$的过程。

解题核心思路：

1. 反函数求导法则：若$y = f^{-1}(x)$，则$y' = \dfrac{1}{f'(y)}$。
2. 三角恒等式：通过$x = \sin y$，结合$\cos^2 y + \sin^2 y = 1$，将$\cos y$用$x$表示。
3. 值域分析：明确$\arcsin x$的值域为$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，确保$\cos y$为非负数。

步骤1：设定变量关系

设$y = \arcsin x$，根据反正弦函数的定义，有：
$x = \sin y$

步骤2：对两边关于$x$求导

对等式$x = \sin y$两边同时关于$x$求导：
$\frac{d}{dx} (x) = \frac{d}{dx} (\sin y) \\ 1 = \cos y \cdot \frac{dy}{dx}$

步骤3：解出$\frac{dy}{dx}$

由上式得：
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$

步骤4：将$\cos y$用$x$表示

利用三角恒等式$\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$，并代入$x = \sin y$：
$\cos y = \sqrt{1 - x^2}$
注意：由于$y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，$\cos y \geq 0$，故直接取正根。

步骤5：代入并整理结果

将$\cos y = \sqrt{1 - x^2}$代入$\frac{dy}{dx}$的表达式：
$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$