题目
(15)int (x)^3(ln )^2xdx;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分类型
这是一个需要使用分部积分法的积分问题。分部积分法适用于形如 $\int u dv = uv - \int v du$ 的积分，其中 $u$ 和 $v$ 是函数的两个部分。
步骤 2：选择 $u$ 和 $dv$
选择 $u = \ln^2 x$ 和 $dv = x^3 dx$。这样，$du = 2\ln x \cdot \frac{1}{x} dx$ 和 $v = \frac{1}{4}x^4$。
步骤 3：应用分部积分法
将 $u$、$v$、$du$ 和 $dv$ 代入分部积分公式中，得到：
$$\int x^3 \ln^2 x dx = \frac{1}{4}x^4 \ln^2 x - \int \frac{1}{4}x^4 \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x} dx$$
$$= \frac{1}{4}x^4 \ln^2 x - \frac{1}{2} \int x^3 \ln x dx$$
步骤 4：再次应用分部积分法
对于 $\int x^3 \ln x dx$，再次使用分部积分法，选择 $u = \ln x$ 和 $dv = x^3 dx$，得到 $du = \frac{1}{x} dx$ 和 $v = \frac{1}{4}x^4$。代入分部积分公式中，得到：
$$\int x^3 \ln x dx = \frac{1}{4}x^4 \ln x - \int \frac{1}{4}x^4 \cdot \frac{1}{x} dx$$
$$= \frac{1}{4}x^4 \ln x - \frac{1}{4} \int x^3 dx$$
$$= \frac{1}{4}x^4 \ln x - \frac{1}{16}x^4$$
步骤 5：将步骤 4 的结果代入步骤 3
将步骤 4 的结果代入步骤 3，得到：
$$\int x^3 \ln^2 x dx = \frac{1}{4}x^4 \ln^2 x - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4}x^4 \ln x - \frac{1}{16}x^4 \right)$$
$$= \frac{1}{4}x^4 \ln^2 x - \frac{1}{8}x^4 \ln x + \frac{1}{32}x^4 + C$$
这是一个需要使用分部积分法的积分问题。分部积分法适用于形如 $\int u dv = uv - \int v du$ 的积分，其中 $u$ 和 $v$ 是函数的两个部分。
步骤 2：选择 $u$ 和 $dv$
选择 $u = \ln^2 x$ 和 $dv = x^3 dx$。这样，$du = 2\ln x \cdot \frac{1}{x} dx$ 和 $v = \frac{1}{4}x^4$。
步骤 3：应用分部积分法
将 $u$、$v$、$du$ 和 $dv$ 代入分部积分公式中，得到：
$$\int x^3 \ln^2 x dx = \frac{1}{4}x^4 \ln^2 x - \int \frac{1}{4}x^4 \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x} dx$$
$$= \frac{1}{4}x^4 \ln^2 x - \frac{1}{2} \int x^3 \ln x dx$$
步骤 4：再次应用分部积分法
对于 $\int x^3 \ln x dx$，再次使用分部积分法，选择 $u = \ln x$ 和 $dv = x^3 dx$，得到 $du = \frac{1}{x} dx$ 和 $v = \frac{1}{4}x^4$。代入分部积分公式中，得到：
$$\int x^3 \ln x dx = \frac{1}{4}x^4 \ln x - \int \frac{1}{4}x^4 \cdot \frac{1}{x} dx$$
$$= \frac{1}{4}x^4 \ln x - \frac{1}{4} \int x^3 dx$$
$$= \frac{1}{4}x^4 \ln x - \frac{1}{16}x^4$$
步骤 5：将步骤 4 的结果代入步骤 3
将步骤 4 的结果代入步骤 3，得到：
$$\int x^3 \ln^2 x dx = \frac{1}{4}x^4 \ln^2 x - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4}x^4 \ln x - \frac{1}{16}x^4 \right)$$
$$= \frac{1}{4}x^4 \ln^2 x - \frac{1}{8}x^4 \ln x + \frac{1}{32}x^4 + C$$