9.求曲面 ^2+2(y)^2+3(z)^2=21 的切平面,使它平行于平面 +4y+6z=0

考查要点：本题主要考查曲面切平面方程的求解方法，以及平面平行的条件。
解题思路：

1. 确定曲面的梯度向量（即切平面的法向量），利用梯度向量与给定平面法向量平行的条件，建立比例关系。
2. 联立曲面方程与比例关系，解出曲面上满足条件的点坐标。
3. 代入切平面方程，得到最终结果。
   关键点：

• 平面平行的条件：法向量成比例。
• 曲面梯度的计算：通过偏导数确定法向量。

步骤1：求曲面的梯度向量

曲面方程为 $x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 21$，构造函数 $F(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 21$，其梯度为：
$\nabla F = (2x, 4y, 6z)$
在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处，梯度为 $(2x_0, 4y_0, 6z_0)$，即切平面的法向量。

步骤2：平面平行条件

给定平面 $x + 4y + 6z = 0$ 的法向量为 $(1, 4, 6)$。根据平面平行条件，曲面切平面的法向量与之成比例：
$\frac{2x_0}{1} = \frac{4y_0}{4} = \frac{6z_0}{6} = k \quad (\text{比例常数})$
解得：
$2x_0 = y_0 = z_0$

步骤3：联立方程求解点坐标

将 $y_0 = 2x_0$ 和 $z_0 = 2x_0$ 代入曲面方程：
$x_0^2 + 2(2x_0)^2 + 3(2x_0)^2 = 21 \\ x_0^2 + 8x_0^2 + 12x_0^2 = 21 \\ 21x_0^2 = 21 \implies x_0 = \pm 1$
对应点为 $(1, 2, 2)$ 和 $(-1, -2, -2)$。

步骤4：求切平面方程

在点 $(1, 2, 2)$ 处，切平面方程为：
$2 \cdot 1 (x - 1) + 4 \cdot 2 (y - 2) + 6 \cdot 2 (z - 2) = 0 \\ 2x + 8y + 12z - 42 = 0 \implies x + 4y + 6z = 21$
在点 $(-1, -2, -2)$ 处，切平面方程为：
$2 \cdot (-1) (x + 1) + 4 \cdot (-2) (y + 2) + 6 \cdot (-2) (z + 2) = 0 \\ -2x - 8y - 12z - 42 = 0 \implies x + 4y + 6z = -21$