2.设随机变量X的分布律为 X=k =dfrac (1)({2)^k} ,k=1,2,···, 求 =sin (dfrac (pi )(2)x) 的分布律.

步骤 1：确定X的取值范围
根据题目，随机变量X的分布律为 $P\{ X=k\} =\dfrac {1}{{2}^{k}}$，其中$k=1,2,\cdots$。这意味着X可以取任何正整数值。

步骤 2：确定Y的取值范围
根据题目，$Y=\sin (\dfrac {\pi }{2}X)$。由于X可以取任何正整数值，我们需要考虑$\sin (\dfrac {\pi }{2}X)$的取值范围。当X为奇数时，$\sin (\dfrac {\pi }{2}X)$的值为1或-1；当X为偶数时，$\sin (\dfrac {\pi }{2}X)$的值为0。

步骤 3：计算Y的分布律
根据X的分布律，我们可以计算出Y的分布律。当X为奇数时，$Y=\sin (\dfrac {\pi }{2}X)$的值为1或-1；当X为偶数时，$Y=\sin (\dfrac {\pi }{2}X)$的值为0。因此，我们需要计算X为奇数和偶数的概率，然后根据这些概率计算Y的分布律。
- 当X为奇数时，$Y=\sin (\dfrac {\pi }{2}X)$的值为1或-1。由于X可以取任何正整数值，因此X为奇数的概率为$\dfrac{1}{2}$。因此，$Y=1$的概率为$\dfrac{1}{2}$，$Y=-1$的概率为$\dfrac{1}{2}$。
- 当X为偶数时，$Y=\sin (\dfrac {\pi }{2}X)$的值为0。由于X可以取任何正整数值，因此X为偶数的概率为$\dfrac{1}{2}$。因此，$Y=0$的概率为$\dfrac{1}{2}$。
- 但是，由于X的分布律为 $P\{ X=k\} =\dfrac {1}{{2}^{k}}$，我们需要根据这个分布律计算Y的分布律。当X为奇数时，$Y=\sin (\dfrac {\pi }{2}X)$的值为1或-1。因此，$Y=1$的概率为$\sum_{k=1,3,5,\cdots} \dfrac{1}{2^k} = \dfrac{2}{3}$，$Y=-1$的概率为$\sum_{k=1,3,5,\cdots} \dfrac{1}{2^k} = \dfrac{2}{3}$。当X为偶数时，$Y=\sin (\dfrac {\pi }{2}X)$的值为0。因此，$Y=0$的概率为$\sum_{k=2,4,6,\cdots} \dfrac{1}{2^k} = \dfrac{1}{3}$。