题目
18.(本小题满分12分)记 Delta ABC 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知-|||-dfrac (cos A)(1+sin A)=dfrac (sin 2B)(1+cos 2B)-|||-(1)若 =dfrac (2pi )(3), 求B;-|||-(2)求 dfrac ({a)^2+(b)^2}({c)^2} 的最小值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：化简已知条件
已知 $\dfrac {\cos A}{1+\sin A}=\dfrac {\sin 2B}{1+\cos 2B}$，利用三角恒等变换，可以将等式两边化简。
$\dfrac {\cos A}{1+\sin A}=\dfrac {2\sin B\cos B}{2\cos^2 B}=\dfrac {\sin B}{\cos B}$，即 $\dfrac {\cos A}{1+\sin A}=\tan B$。
步骤 2：利用三角形内角和定理
由于 $C=\dfrac {2\pi }{3}$，则 $A+B=\dfrac {\pi }{3}$。结合步骤1中的等式，可以求出B的值。
步骤 3：求 $\dfrac {{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$ 的最小值
利用余弦定理和三角恒等变换，可以将 $\dfrac {{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$ 表达式化简，然后求其最小值。
已知 $\dfrac {\cos A}{1+\sin A}=\dfrac {\sin 2B}{1+\cos 2B}$，利用三角恒等变换，可以将等式两边化简。
$\dfrac {\cos A}{1+\sin A}=\dfrac {2\sin B\cos B}{2\cos^2 B}=\dfrac {\sin B}{\cos B}$，即 $\dfrac {\cos A}{1+\sin A}=\tan B$。
步骤 2：利用三角形内角和定理
由于 $C=\dfrac {2\pi }{3}$，则 $A+B=\dfrac {\pi }{3}$。结合步骤1中的等式，可以求出B的值。
步骤 3：求 $\dfrac {{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$ 的最小值
利用余弦定理和三角恒等变换，可以将 $\dfrac {{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$ 表达式化简，然后求其最小值。