设 f(x)= ^2),xleqslant 1 ax+b,xgt 1 . 已知f(x)在 x=1 处可导,试确定a、b的值。

步骤 1：确定函数在 x=1 处的连续性
为了使函数在 x=1 处可导，首先需要保证函数在该点连续。这意味着函数在 x=1 处的左极限和右极限必须相等，且等于函数在该点的值。因此，我们有：
$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$$
步骤 2：计算左极限和右极限
左极限为：
$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{2}{1+x^2} = \frac{2}{1+1^2} = 1$$
右极限为：
$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (ax+b) = a+b$$
步骤 3：确定 a 和 b 的值
由于函数在 x=1 处连续，我们有：
$$a+b = 1$$
步骤 4：确定函数在 x=1 处的可导性
为了使函数在 x=1 处可导，函数在该点的左导数和右导数必须相等。因此，我们有：
$$\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x)$$
步骤 5：计算左导数和右导数
左导数为：
$$\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{1+x^2} \right) = \lim_{x \to 1^-} \frac{-4x}{(1+x^2)^2} = -1$$
右导数为：
$$\lim_{x \to 1^+} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{d}{dx} (ax+b) = a$$
步骤 6：确定 a 的值
由于函数在 x=1 处可导，我们有：
$$a = -1$$
步骤 7：确定 b 的值
将 a 的值代入步骤 3 的方程中，我们有：
$$-1 + b = 1$$
解得：
$$b = 2$$