设 f(x)= ^2),xleqslant 1 ax+b,xgt 1 . 已知f(x)在 x=1 处可导,试确定a、b的值。

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的可导性条件，涉及函数连续性和导数存在的综合应用。

解题核心思路：

1. 连续性条件：函数在分段点$x=1$处必须连续，即左极限等于右极限且等于函数值$f(1)$。
2. 可导性条件：函数在$x=1$处的左导数与右导数必须相等。

破题关键点：

• 连续性：通过计算左右极限确定$a$与$b$的关系。
• 导数相等：分别求出分段点处的左导数和右导数，建立方程求解$a$和$b$。

步骤1：验证连续性

当$x \leqslant 1$时，$f(x) = \dfrac{2}{1+x^2}$，因此：
$f(1) = \dfrac{2}{1+1^2} = 1$
当$x > 1$时，$f(x) = ax + b$，因此右极限为：
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = a \cdot 1 + b = a + b$
为了连续，需满足：
$a + b = f(1) = 1 \quad \text{(连续性条件)}$

步骤2：计算左导数

当$x \leqslant 1$时，$f(x) = \dfrac{2}{1+x^2}$，其导数为：
$f'(x) = \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{2}{1+x^2} \right) = \dfrac{-4x}{(1+x^2)^2}$
在$x=1$处的左导数为：
$f'_-(1) = \dfrac{-4 \cdot 1}{(1+1^2)^2} = \dfrac{-4}{16} = -1$

步骤3：计算右导数

当$x > 1$时，$f(x) = ax + b$，其导数为：
$f'(x) = a$
在$x=1$处的右导数为：
$f'_+(1) = a$

步骤4：令左右导数相等

根据可导条件，左导数等于右导数：
$a = -1$

步骤5：代入连续性条件求$b$

将$a = -1$代入$a + b = 1$：
$-1 + b = 1 \implies b = 2$