设f(x)= |} 1& 0& x 1& 2& (x)^2 1& 3& (x)^3 | . 则 f(x+1)-f(x)= () .

考查要点：本题主要考查三阶行列式的计算及多项式函数的差分运算。
解题思路：

1. 行列式展开：通过展开三阶行列式，将函数$f(x)$表示为多项式形式。
2. 代入差分：计算$f(x+1)$并展开，最后求$f(x+1)-f(x)$的差分结果。
   关键点：

• 行列式展开时注意符号和余子式的正确计算。
• 多项式展开时需仔细处理各项系数，避免计算错误。

步骤1：计算行列式$f(x)$

原行列式为：
$f(x) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & x \\ 1 & 2 & x^2 \\ 1 & 3 & x^3 \end{vmatrix}$
按第一行展开：
$f(x) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & x^2 \\ 3 & x^3 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & x^2 \\ 1 & x^3 \end{vmatrix} + x \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}$
计算各余子式：

1. $\begin{vmatrix} 2 & x^2 \\ 3 & x^3 \end{vmatrix} = 2x^3 - 3x^2$
2. $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 1$
   因此：
   $f(x) = 1 \cdot (2x^3 - 3x^2) + x \cdot 1 = 2x^3 - 3x^2 + x$

步骤2：计算$f(x+1)$

将$x$替换为$x+1$：
$f(x+1) = 2(x+1)^3 - 3(x+1)^2 + (x+1)$
展开并化简：

1. $(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$，故$2(x+1)^3 = 2x^3 + 6x^2 + 6x + 2$
2. $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$，故$-3(x+1)^2 = -3x^2 - 6x - 3$
3. $(x+1) = x + 1$
   合并同类项：
   $f(x+1) = 2x^3 + 3x^2 + x$

步骤3：求差分$f(x+1) - f(x)$

$\begin{aligned}f(x+1) - f(x) &= (2x^3 + 3x^2 + x) - (2x^3 - 3x^2 + x) \\&= 2x^3 + 3x^2 + x - 2x^3 + 3x^2 - x \\&= 6x^2\end{aligned}$