(12)设函数 =y(x) 由方程 ^xy=x+y 所确定,则 (|)_(x=0)= __ .

考查要点：本题主要考查隐函数求导法的应用，以及微分的计算。需要掌握复合函数求导法则和隐函数求导的基本步骤。

解题核心思路：

1. 确定初始条件：当$x=0$时，代入原方程求出对应的$y$值。
2. 对原方程两边同时求导，利用链式法则和乘积法则展开。
3. 代入已知点$(x=0, y=1)$，解出$\frac{dy}{dx}$在该点的值。
4. 微分公式：$dy = \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=0} \cdot dx$。

破题关键点：

• 正确处理指数函数的导数：注意$2^{xy}$的导数需要结合链式法则和乘积法则。
• 代入点的准确性：确保代入$x=0$和对应的$y=1$后方程成立。

步骤1：求初始条件
当$x=0$时，原方程$2^{xy}=x+y$变为：
$2^{0 \cdot y} = 0 + y \implies 1 = y \implies y(0) = 1.$

步骤2：对原方程两边求导
对$2^{xy} = x + y$两边关于$x$求导：

• 左边：设$u = xy$，则$\frac{d}{dx}(2^u) = 2^u \ln 2 \cdot \frac{du}{dx}$。
  $\frac{du}{dx} = y + x \frac{dy}{dx}$，因此左边导数为：
  $2^{xy} \ln 2 \cdot (y + x \frac{dy}{dx}).$
• 右边：$\frac{d}{dx}(x + y) = 1 + \frac{dy}{dx}$。

步骤3：建立方程并代入初始条件
将两边导数相等：
$2^{xy} \ln 2 \cdot (y + x \frac{dy}{dx}) = 1 + \frac{dy}{dx}.$
代入$x=0$，$y=1$：
$2^{0 \cdot 1} \ln 2 \cdot (1 + 0 \cdot \frac{dy}{dx}) = 1 + \frac{dy}{dx} \implies \ln 2 = 1 + \frac{dy}{dx}.$

步骤4：解方程求$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=0}$
整理得：
$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=0} = \ln 2 - 1.$

步骤5：计算微分$dy$
根据微分公式：
$dy\bigg|_{x=0} = \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=0} \cdot dx = (\ln 2 - 1)dx.$