题目
19. 试求一个正交的相似变换矩阵，将下列对称矩阵化为对角矩阵：2 -2 0-|||-1) -2 1 -2-|||-0 -2 0-|||-2 2 -2-|||-(2) 2 5 -4-|||--2 -4 5
19. 试求一个正交的相似变换矩阵，将下列对称矩阵化为对角矩阵：
题目解答
答案
首先,求对称矩阵的特征值和特征向量：特征值
,对应的特征向量
.特征值
,对应的特征向量
.特征值
,对应的特征向量
.
构造正交相似变换矩阵P,其中列向量为特征向量的单位化结果：
将对称矩阵用正交相似变换矩阵进行相似变换,得到对角矩阵：
解析
步骤 1：求对称矩阵的特征值和特征向量
给定的对称矩阵为：
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]
首先，求特征值。特征值满足方程：
\[ \det(A - \lambda I) = 0 \]
其中，$I$ 是单位矩阵。计算行列式：
\[ \det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = 0 \]
通过计算，得到特征值为 $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 1$, $\lambda_3 = 4$。
步骤 2：求特征向量
对于每个特征值，求解方程 $(A - \lambda I) \mathbf{x} = 0$，得到对应的特征向量。
- 对于 $\lambda_1 = 1$，解得特征向量 $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ 和 $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$。
- 对于 $\lambda_3 = 4$，解得特征向量 $\mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。
步骤 3：正交化和单位化特征向量
由于 $\mathbf{v}_1$ 和 $\mathbf{v}_2$ 已经正交，我们只需要单位化它们。$\mathbf{v}_3$ 也已经正交于 $\mathbf{v}_1$ 和 $\mathbf{v}_2$，我们同样单位化它。
- $\mathbf{u}_1 = \frac{\mathbf{v}_1}{\|\mathbf{v}_1\|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
- $\mathbf{u}_2 = \frac{\mathbf{v}_2}{\|\mathbf{v}_2\|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
- $\mathbf{u}_3 = \frac{\mathbf{v}_3}{\|\mathbf{v}_3\|} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
步骤 4：构造正交相似变换矩阵
构造正交相似变换矩阵 $P$，其列向量为单位化的特征向量：
\[ P = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} \]
步骤 5：相似变换得到对角矩阵
\[ D = P^{-1}AP = P^TAP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \]
给定的对称矩阵为：
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]
首先，求特征值。特征值满足方程：
\[ \det(A - \lambda I) = 0 \]
其中，$I$ 是单位矩阵。计算行列式：
\[ \det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = 0 \]
通过计算，得到特征值为 $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 1$, $\lambda_3 = 4$。
步骤 2：求特征向量
对于每个特征值，求解方程 $(A - \lambda I) \mathbf{x} = 0$，得到对应的特征向量。
- 对于 $\lambda_1 = 1$，解得特征向量 $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ 和 $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$。
- 对于 $\lambda_3 = 4$，解得特征向量 $\mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。
步骤 3：正交化和单位化特征向量
由于 $\mathbf{v}_1$ 和 $\mathbf{v}_2$ 已经正交，我们只需要单位化它们。$\mathbf{v}_3$ 也已经正交于 $\mathbf{v}_1$ 和 $\mathbf{v}_2$，我们同样单位化它。
- $\mathbf{u}_1 = \frac{\mathbf{v}_1}{\|\mathbf{v}_1\|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
- $\mathbf{u}_2 = \frac{\mathbf{v}_2}{\|\mathbf{v}_2\|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
- $\mathbf{u}_3 = \frac{\mathbf{v}_3}{\|\mathbf{v}_3\|} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
步骤 4：构造正交相似变换矩阵
构造正交相似变换矩阵 $P$，其列向量为单位化的特征向量：
\[ P = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} \]
步骤 5：相似变换得到对角矩阵
\[ D = P^{-1}AP = P^TAP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \]