题目
一份试卷上有6道题. 某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误. 试求:(1) 这4处错误发生在最后一道题上的概率;(2) 这4处错误发生在不同题上的概率;(3) 至少有3道题全对的概率.
一份试卷上有6道题. 某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误. 试求:
(1) 这4处错误发生在最后一道题上的概率;
(2) 这4处错误发生在不同题上的概率;
(3) 至少有3道题全对的概率.
题目解答
答案
4个错误发生在6道题中的可能结果共有64=1296种,即样本点总数为1296.
(1)设A表示“4处错误发生在最后一道题上”,只有1种情形,因此
;
;(2)设B表示“4处错误发生在不同题上”,即4处错误不重复出现在6道题上,共有
种方式,因此有6
种可能,故
种方式,因此有6种可能,故(3)设C表示“至少有3道题全对”相当于“至少有2个错误发生在同一题上”,而
表示“4处错误发生在不同题上”,
,
.
表示“4处错误发生在不同题上”,,.解析
步骤 1：计算总样本点数
学生在解答试卷时，每道题都有可能犯错误，因此每道题都有6种可能的错误发生情况。由于学生犯了4处不同的错误，所以总样本点数为6的4次方，即$6^4=1296$种。
步骤 2：计算4处错误发生在最后一道题上的概率
设A表示“4处错误发生在最后一道题上”，只有1种情形，即所有错误都发生在最后一道题上。因此，$P(A)=\dfrac {1}{1296}$。
步骤 3：计算4处错误发生在不同题上的概率
设B表示“4处错误发生在不同题上”，即4处错误不重复出现在6道题上。从6道题中选择4道题，每道题上犯1个错误，共有$C_6^4$种选择方式，每种选择方式下，4个错误可以任意排列，共有$4!$种排列方式。因此，$P(B)=\dfrac {C_6^4 \times 4!}{1296}=\dfrac {5}{18}$。
步骤 4：计算至少有3道题全对的概率
设C表示“至少有3道题全对”，即“至少有2个错误发生在同一题上”。而$\overline {C}=B$，即“4处错误发生在不同题上”。因此，$P(C)=1-P(B)=1-\dfrac {5}{18}=\dfrac {13}{18}$。
学生在解答试卷时，每道题都有可能犯错误，因此每道题都有6种可能的错误发生情况。由于学生犯了4处不同的错误，所以总样本点数为6的4次方，即$6^4=1296$种。
步骤 2：计算4处错误发生在最后一道题上的概率
设A表示“4处错误发生在最后一道题上”，只有1种情形，即所有错误都发生在最后一道题上。因此，$P(A)=\dfrac {1}{1296}$。
步骤 3：计算4处错误发生在不同题上的概率
设B表示“4处错误发生在不同题上”，即4处错误不重复出现在6道题上。从6道题中选择4道题，每道题上犯1个错误，共有$C_6^4$种选择方式，每种选择方式下，4个错误可以任意排列，共有$4!$种排列方式。因此，$P(B)=\dfrac {C_6^4 \times 4!}{1296}=\dfrac {5}{18}$。
步骤 4：计算至少有3道题全对的概率
设C表示“至少有3道题全对”，即“至少有2个错误发生在同一题上”。而$\overline {C}=B$，即“4处错误发生在不同题上”。因此，$P(C)=1-P(B)=1-\dfrac {5}{18}=\dfrac {13}{18}$。