下列各题中,哪些数列收敛,哪些数列发散?对收敛数列,通过观察(xn)的变化-|||-趋势,写出它们的极限:-|||-(5) n{(-1))^n} ;-|||-(6) dfrac {{2)^n-1}({3)^n}} -|||-(7) n-dfrac {1)(n)} ;-|||-(8) [ {(-1))^n+1] dfrac (n+1)(n)}

考查要点：数列收敛与发散的判断，涉及极限存在性、符号交替数列、指数函数比较、多项式增长对比、分段子数列极限差异等知识点。

解题核心思路：

1. 判断数列是否有界：若数列无界则必发散；
2. 分析通项表达式趋势：观察主导项随$n$增大后的变化；
3. 特殊数列类型：符号交替数列、分式指数型数列、分段表达式数列的极限特性。

破题关键点：

• 符号交替且绝对值发散的数列必发散；
• 指数分母增长快于分子时极限为0；
• 多项式主导项决定发散性；
• 不同子数列极限不一致时整体发散。

(5) $\{ n{(-1)}^{n} \}$

符号交替与绝对值分析

通项为$n(-1)^n$，符号交替，绝对值为$n$。当$n \to \infty$时，绝对值无界，数列在$+\infty$与$-\infty$间摆动，无极限。

结论：发散。

(6) $\{ \dfrac{{2}^{n}-1}{{3}^{n}} \}$

拆分分式

将通项拆分为$\dfrac{2^n}{3^n} - \dfrac{1}{3^n}$。

分析各部分极限

• $\dfrac{2^n}{3^n} = \left( \dfrac{2}{3} \right)^n \to 0$（因$\dfrac{2}{3} < 1$）；
• $\dfrac{1}{3^n} \to 0$。

整体极限：$0 - 0 = 0$。

结论：收敛，极限为$0$。

(7) $\{ n - \dfrac{1}{n} \}$

主导项分析

当$n \to \infty$时，$n$项主导，$\dfrac{1}{n} \to 0$，故通项近似为$n$，无界。

结论：发散。

(8) $\{ [ {(-1)}^{n}+1] \dfrac{n+1}{n} \}$

分段讨论

• 当$n$为偶数：$(-1)^n = 1$，通项为$2 \cdot \dfrac{n+1}{n} = 2 \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right) \to 2$；
• 当$n$为奇数：$(-1)^n = -1$，通项为$0 \cdot \dfrac{n+1}{n} = 0$。

子数列极限不一致：偶数项极限为$2$，奇数项极限为$0$，整体无极限。

结论：发散。