下列函数在给定区间上无界的是（）。A. (1)/(x)sin x, xin(0,1]B. (1)/(x)sin x, xin(0,+infty)C. (1)/(x)sin(1)/(x), xin(0,1]D. xsin(1)/(x), xin(0,+infty)

考查要点：本题主要考查函数在区间上的有界性判断，需要结合函数的表达式和定义域分析其是否有界。

解题核心思路：

1. 有界函数的定义：若存在实数$M>0$，使得函数$f(x)$在区间内所有$x$满足$|f(x)| \leq M$，则$f(x)$在该区间上有界。
2. 关键分析点：
   • 分母趋近于0时的函数行为：若分母趋近于0且分子不被限制，可能导致函数无界。
   • 振荡函数的叠加效应：如$\sin\frac{1}{x}$在$x \to 0$时振荡加快，若与无界因子（如$\frac{1}{x}$）结合，可能产生无界性。

破题关键：

• 选项C中$\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$在$x \to 0$时，$\frac{1}{x}$无界，而$\sin\frac{1}{x}$振荡导致整体函数值无限增大，因此无界。

选项分析

A. $\frac{1}{x}\sin x, x\in(0,1]$

• 分析：$\sin x$在$(0,1]$内有界（$|\sin x| \leq 1$），因此$\left|\frac{1}{x}\sin x\right| \leq \frac{1}{x}$。
• 关键点：当$x \to 0$时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，但$\sin x \approx x$，故$\frac{\sin x}{x} \approx 1$，函数值趋近于1，有界。

B. $\frac{1}{x}\sin x, x\in(0,+\infty)$

• 分析：当$x \to +\infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，$\sin x$有界，整体趋近于0；当$x \to 0$时，同选项A，函数值趋近于1，有界。

C. $\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}, x\in(0,1]$

• 分析：当$x \to 0$时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，而$\sin\frac{1}{x}$在$[-1,1]$间无限振荡。
• 关键点：$\left|\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}\right| \leq \frac{1}{x}$，但$\frac{1}{x}$无界，且$\sin\frac{1}{x}$的振荡导致函数值无限接近$\frac{1}{x}$，因此无界。

D. $x\sin\frac{1}{x}, x\in(0,+\infty)$

• 分析：当$x \to 0$时，$x \to 0$，$\sin\frac{1}{x}$有界，整体趋近于0；当$x \to +\infty$时，$\sin\frac{1}{x} \approx \frac{1}{x}$，整体趋近于0，有界。