(18)(本题满分10分)-|||-求 u=xy+2xz+2yz 在条件 xyz=1 下的最小值

步骤 1：定义拉格朗日函数
为了求解在条件 xyz=1 下的最小值，我们引入拉格朗日乘数法。定义拉格朗日函数 $F(x, y, z, \lambda) = xy + 2xz + 2yz + \lambda (xyz - 1)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。

步骤 2：求偏导数
对拉格朗日函数 $F(x, y, z, \lambda)$ 求偏导数，得到以下方程组：
$$
\begin{cases}
\dfrac{\partial F}{\partial x} = y + 2z + \lambda yz = 0 \\
\dfrac{\partial F}{\partial y} = x + 2z + \lambda xz = 0 \\
\dfrac{\partial F}{\partial z} = 2x + 2y + \lambda xy = 0 \\
\dfrac{\partial F}{\partial \lambda} = xyz - 1 = 0
\end{cases}
$$

步骤 3：解方程组
解上述方程组，得到 $x = \dfrac{2}{5}$，$y = \dfrac{1}{5}$，$z = \dfrac{25}{2}$，$\lambda = -\dfrac{25}{2}$。

步骤 4：计算最小值
将 $x = \dfrac{2}{5}$，$y = \dfrac{1}{5}$，$z = \dfrac{25}{2}$ 代入 $u = xy + 2xz + 2yz$，得到 $u_{min} = \dfrac{2}{25} + 10 + 5 = \dfrac{2 + 375}{25} = \dfrac{377}{25}$。