在 x arrow 0 时, x - sin x 是关于 x^2 的 ()A. 低阶无穷小量B. 等价无穷小量C. 高阶无穷小量D. 同阶但不等价无穷小量

考查要点：本题主要考查无穷小量阶的比较，需要利用泰勒展开式展开$\sin x$，并通过极限判断$x - \sin x$与$x^2$的阶关系。

解题核心思路：

1. 泰勒展开：将$\sin x$在$x=0$处展开到足够高的阶，保留主要项。
2. 化简表达式：通过展开式计算$x - \sin x$的主部。
3. 极限比较：计算$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^2}$，根据极限结果判断阶的关系。

破题关键点：

• 展开到$x^3$项：因为$x - \sin x$的主部为$x^3$阶，需展开到三阶。
• 极限结果为0：说明$x - \sin x$比$x^2$更高阶。

步骤1：泰勒展开$\sin x$

$\sin x$在$x=0$处的泰勒展开式为：
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

步骤2：计算$x - \sin x$

将展开式代入$x - \sin x$：
$x - \sin x = x - \left( x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \right) = \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

步骤3：比较阶关系

计算极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{6} + O(x^3) \right) = 0$

结论：极限为0，说明$x - \sin x$是比$x^2$高阶的无穷小量。