题目
9.讨论下列函数的连续性.若有间断点,说明间断点的类型:-|||-(1) f(x)= ,xlt 0 {x)^2-1,xgeqslant 0 .
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析函数 f(x) = $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {\sin x}{x},\quad x\lt 0\\ {x}^{2}-1,\quad x\geqslant 0\end{matrix} \right.$
- 当 x < 0 时，函数为 $\dfrac {\sin x}{x}$，这是一个连续函数，因为 $\lim_{x \to 0^-} \dfrac {\sin x}{x} = 1$。
- 当 x ≥ 0 时，函数为 $x^2 - 1$，这是一个连续函数。
- 在 x = 0 处，左极限 $\lim_{x \to 0^-} \dfrac {\sin x}{x} = 1$，右极限 $\lim_{x \to 0^+} (x^2 - 1) = -1$，因此在 x = 0 处函数不连续，且为跳跃间断点。
步骤 2：分析函数 $f(x) = {e}^{x+\dfrac {1}{x}}$
- 当 x ≠ 0 时，函数为 ${e}^{x+\dfrac {1}{x}}$，这是一个连续函数。
- 当 x = 0 时，函数未定义，因此在 x = 0 处函数不连续，且为第二类间断点。
步骤 3：分析函数 $f(x) = \dfrac {x}{\ln x}$
- 当 x > 0 且 x ≠ 1 时，函数为 $\dfrac {x}{\ln x}$，这是一个连续函数。
- 当 x = 1 时，函数未定义，因为 $\ln 1 = 0$，因此在 x = 1 处函数不连续，且为无穷间断点。
步骤 4：分析函数 f(x) = $\left \{ \begin{matrix} {e}^{-\dfrac {1}{x2}},x\neq 0,\\ 2,x=0;\end{matrix} \right.$
- 当 x ≠ 0 时，函数为 ${e}^{-\dfrac {1}{x2}}$，这是一个连续函数。
- 当 x = 0 时，函数为 2，但 $\lim_{x \to 0} {e}^{-\dfrac {1}{x2}} = 0$，因此在 x = 0 处函数不连续，且为可去间断点。
步骤 5：分析函数 f(x) = $\left \{ \begin{matrix} \sin \dfrac {1}{{x}^{2}-1},\quad x\lt 0\\ \dfrac {{x}^{2}-1}{\cos \dfrac {\pi }{2}x},\quad x\geqslant 0.\end{matrix} \right.$
- 当 x < 0 时，函数为 $\sin \dfrac {1}{{x}^{2}-1}$，这是一个连续函数。
- 当 x ≥ 0 时，函数为 $\dfrac {{x}^{2}-1}{\cos \dfrac {\pi }{2}x}$，这是一个连续函数。
- 在 x = 0 处，左极限 $\lim_{x \to 0^-} \sin \dfrac {1}{{x}^{2}-1}$ 不存在，右极限 $\lim_{x \to 0^+} \dfrac {{x}^{2}-1}{\cos \dfrac {\pi }{2}x} = -1$，因此在 x = 0 处函数不连续，且为第二类间断点。
- 在 x = -1 和 x = 1 处，函数未定义，因此在 x = -1 和 x = 1 处函数不连续，且为第二类间断点。
- 在 x = 3, 5, 7, ... 处，函数未定义，因此在这些点处函数不连续，且为第二类间断点。
- 当 x < 0 时，函数为 $\dfrac {\sin x}{x}$，这是一个连续函数，因为 $\lim_{x \to 0^-} \dfrac {\sin x}{x} = 1$。
- 当 x ≥ 0 时，函数为 $x^2 - 1$，这是一个连续函数。
- 在 x = 0 处，左极限 $\lim_{x \to 0^-} \dfrac {\sin x}{x} = 1$，右极限 $\lim_{x \to 0^+} (x^2 - 1) = -1$，因此在 x = 0 处函数不连续，且为跳跃间断点。
步骤 2：分析函数 $f(x) = {e}^{x+\dfrac {1}{x}}$
- 当 x ≠ 0 时，函数为 ${e}^{x+\dfrac {1}{x}}$，这是一个连续函数。
- 当 x = 0 时，函数未定义，因此在 x = 0 处函数不连续，且为第二类间断点。
步骤 3：分析函数 $f(x) = \dfrac {x}{\ln x}$
- 当 x > 0 且 x ≠ 1 时，函数为 $\dfrac {x}{\ln x}$，这是一个连续函数。
- 当 x = 1 时，函数未定义，因为 $\ln 1 = 0$，因此在 x = 1 处函数不连续，且为无穷间断点。
步骤 4：分析函数 f(x) = $\left \{ \begin{matrix} {e}^{-\dfrac {1}{x2}},x\neq 0,\\ 2,x=0;\end{matrix} \right.$
- 当 x ≠ 0 时，函数为 ${e}^{-\dfrac {1}{x2}}$，这是一个连续函数。
- 当 x = 0 时，函数为 2，但 $\lim_{x \to 0} {e}^{-\dfrac {1}{x2}} = 0$，因此在 x = 0 处函数不连续，且为可去间断点。
步骤 5：分析函数 f(x) = $\left \{ \begin{matrix} \sin \dfrac {1}{{x}^{2}-1},\quad x\lt 0\\ \dfrac {{x}^{2}-1}{\cos \dfrac {\pi }{2}x},\quad x\geqslant 0.\end{matrix} \right.$
- 当 x < 0 时，函数为 $\sin \dfrac {1}{{x}^{2}-1}$，这是一个连续函数。
- 当 x ≥ 0 时，函数为 $\dfrac {{x}^{2}-1}{\cos \dfrac {\pi }{2}x}$，这是一个连续函数。
- 在 x = 0 处，左极限 $\lim_{x \to 0^-} \sin \dfrac {1}{{x}^{2}-1}$ 不存在，右极限 $\lim_{x \to 0^+} \dfrac {{x}^{2}-1}{\cos \dfrac {\pi }{2}x} = -1$，因此在 x = 0 处函数不连续，且为第二类间断点。
- 在 x = -1 和 x = 1 处，函数未定义，因此在 x = -1 和 x = 1 处函数不连续，且为第二类间断点。
- 在 x = 3, 5, 7, ... 处，函数未定义，因此在这些点处函数不连续，且为第二类间断点。