题目
当y>0时，微分方程(x-2xy-y^2)dy+y^2dx=0的通解为____.
当y>0时，微分方程$(x-2xy-y^{2})dy+y^{2}dx=0$的通解为____.
题目解答
答案
将方程改写为以 $x$ 为 $y$ 的函数形式：
\[
\frac{dx}{dy} + \left( \frac{1}{y^2} - \frac{2}{y} \right)x = 1
\]
此为一阶线性微分方程，其中 $P(y) = \frac{1}{y^2} - \frac{2}{y}$，$Q(y) = 1$。
计算积分因子：
\[
e^{\int P(y) \, dy} = e^{-\frac{1}{y} - 2\ln y} = \frac{e^{-\frac{1}{y}}}{y^2}
\]
通解为：
\[
x = e^{-\int P(y) \, dy} \left( \int Q(y) e^{\int P(y) \, dy} \, dy + C \right) = y^2 e^{\frac{1}{y}} \left( \int \frac{e^{-\frac{1}{y}}}{y^2} \, dy + C \right)
\]
令 $u = -\frac{1}{y}$，则积分变为：
\[
\int e^u \, du = e^u + C_1 = e^{-\frac{1}{y}} + C_1
\]
代回得通解：
\[
x = y^2 e^{\frac{1}{y}} \left( e^{-\frac{1}{y}} + C \right) = y^2 \left( 1 + C e^{\frac{1}{y}} \right)
\]
**答案：**
\[
\boxed{x = y^2 \left( C e^{\frac{1}{y}} + 1 \right)}
\]
解析
步骤 1：将方程改写为以 $x$ 为 $y$ 的函数形式
原方程为 $(x-2xy-y^{2})dy+y^{2}dx=0$，可以改写为 $y^{2}dx = (2xy + y^{2} - x)dy$，进一步整理为 $\frac{dx}{dy} + \left( \frac{1}{y^2} - \frac{2}{y} \right)x = 1$。这是一个一阶线性微分方程，其中 $P(y) = \frac{1}{y^2} - \frac{2}{y}$，$Q(y) = 1$。
步骤 2：计算积分因子
积分因子为 $e^{\int P(y) \, dy} = e^{\int \left( \frac{1}{y^2} - \frac{2}{y} \right) \, dy} = e^{-\frac{1}{y} - 2\ln y} = \frac{e^{-\frac{1}{y}}}{y^2}$。
步骤 3：求解通解
通解为 $x = e^{-\int P(y) \, dy} \left( \int Q(y) e^{\int P(y) \, dy} \, dy + C \right) = y^2 e^{\frac{1}{y}} \left( \int \frac{e^{-\frac{1}{y}}}{y^2} \, dy + C \right)$。令 $u = -\frac{1}{y}$，则积分变为 $\int e^u \, du = e^u + C_1 = e^{-\frac{1}{y}} + C_1$。代回得通解 $x = y^2 e^{\frac{1}{y}} \left( e^{-\frac{1}{y}} + C \right) = y^2 \left( 1 + C e^{\frac{1}{y}} \right)$。
原方程为 $(x-2xy-y^{2})dy+y^{2}dx=0$，可以改写为 $y^{2}dx = (2xy + y^{2} - x)dy$，进一步整理为 $\frac{dx}{dy} + \left( \frac{1}{y^2} - \frac{2}{y} \right)x = 1$。这是一个一阶线性微分方程，其中 $P(y) = \frac{1}{y^2} - \frac{2}{y}$，$Q(y) = 1$。
步骤 2：计算积分因子
积分因子为 $e^{\int P(y) \, dy} = e^{\int \left( \frac{1}{y^2} - \frac{2}{y} \right) \, dy} = e^{-\frac{1}{y} - 2\ln y} = \frac{e^{-\frac{1}{y}}}{y^2}$。
步骤 3：求解通解
通解为 $x = e^{-\int P(y) \, dy} \left( \int Q(y) e^{\int P(y) \, dy} \, dy + C \right) = y^2 e^{\frac{1}{y}} \left( \int \frac{e^{-\frac{1}{y}}}{y^2} \, dy + C \right)$。令 $u = -\frac{1}{y}$，则积分变为 $\int e^u \, du = e^u + C_1 = e^{-\frac{1}{y}} + C_1$。代回得通解 $x = y^2 e^{\frac{1}{y}} \left( e^{-\frac{1}{y}} + C \right) = y^2 \left( 1 + C e^{\frac{1}{y}} \right)$。