设随机变量X服从指数分布,则随机变量Y=min(X,2)的分布函数( )A. 是连续函数。B. 至少有两个间断点。C. 是阶梯函数。D. 恰好有一个间断点。

步骤 1：理解指数分布
指数分布是一种连续概率分布，其概率密度函数为 \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\)，其中 \(x \geq 0\)，\(\lambda > 0\)。指数分布的分布函数为 \(F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\)。

步骤 2：定义随机变量Y
随机变量 \(Y = \min\{X, 2\}\) 表示 \(X\) 和 2 中的较小值。因此，\(Y\) 的取值范围是 \(0 \leq Y \leq 2\)。

步骤 3：计算Y的分布函数
\(Y\) 的分布函数 \(F_Y(y)\) 定义为 \(P(Y \leq y)\)。根据 \(Y\) 的定义，当 \(y < 0\) 时，\(F_Y(y) = 0\)；当 \(0 \leq y < 2\) 时，\(F_Y(y) = P(X \leq y) = 1 - e^{-\lambda y}\)；当 \(y \geq 2\) 时，\(F_Y(y) = P(Y \leq 2) = 1\)。因此，\(F_Y(y)\) 在 \(y = 2\) 处有一个跳跃，即 \(F_Y(2) = 1\)，而 \(F_Y(2^-) = 1 - e^{-2\lambda}\)。这意味着 \(F_Y(y)\) 在 \(y = 2\) 处有一个间断点。

步骤 4：确定正确答案
根据上述分析，\(Y\) 的分布函数 \(F_Y(y)\) 在 \(y = 2\) 处有一个间断点，因此正确答案是 D。