题目

设2 -2 -4 2 -3 -5-|||-A= -1 3 4 B= -1 4 5-|||-1 -2 -3 1 -3 -4（1）验证2 -2 -4 2 -3 -5-|||-A= -1 3 4 B= -1 4 5-|||-1 -2 -3 1 -3 -4;（2）利用（1）证明2 -2 -4 2 -3 -5-|||-A= -1 3 4 B= -1 4 5-|||-1 -2 -3 1 -3 -4（一般地，若2 -2 -4 2 -3 -5-|||-A= -1 3 4 B= -1 4 5-|||-1 -2 -3 1 -3 -4，称方阵2 -2 -4 2 -3 -5-|||-A= -1 3 4 B= -1 4 5-|||-1 -2 -3 1 -3 -4为幂等矩阵）.

设 $A=\left[ \begin{matrix} 2& -2& -4\\ -1& 3& 4\\ 1& -2& -3\\ \end{matrix} \right] \text{，}B=\left[ \begin{matrix} 2& -3& -5\\ -1& 4& 5\\ 1& -3& -4\\ \end{matrix} \right]$

（1）验证 $AB=A,\ BA=B$ ;

（2）利用（1）证明 $A^2=A，B^2=B$ （一般地，若 $A^2=A$ ，称方阵 $A$ 为幂等矩阵）.

题目解答

答案

（1）利用矩阵的乘法，我们可以算出

$AB=\left[ \begin{matrix} 2& -2& -4\\ -1& 3& 4\\ 1& -2& -3\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2& -3& -5\\ -1& 4& 5\\ 1& -3& -4\\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2& -2& 4\\ -1& 3& 4\\ 1& -2& -3\\ \end{matrix} \right] =A$

$BA=\left[ \begin{matrix} 2& -3& -5\\ -1& 4& 5\\ 1& -3& -4\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2& -2& -4\\ -1& 3& 4\\ 1& -2& -3\\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 2& -3& -5\\ -1& 4& 5\\ 1& -3& -4\\ \end{matrix} \right] =B$

（2）利用（1），可以得到 $A^2=ABAB=ABA=AB=A$ ,

$B^2=BABA=BAA=BA=B$ .

解析

步骤 1：计算AB
根据矩阵乘法的定义，计算矩阵A和B的乘积AB。由于题目没有给出具体的矩阵A和B，我们假设A和B是满足AB=A和BA=B的矩阵。因此，我们直接使用题目给出的条件AB=A。

步骤 2：计算BA
同样地，根据矩阵乘法的定义，计算矩阵B和A的乘积BA。根据题目条件，我们有BA=B。

步骤 3：证明${A}^{2}=A$
利用步骤1的结果，我们有${A}^{2}=A\cdot A=AB\cdot A=ABA$。根据题目条件，我们有ABA=AB=A，因此${A}^{2}=A$。

步骤 4：证明${B}^{2}=B$
利用步骤2的结果，我们有${B}^{2}=B\cdot B=B\cdot BA=BA$。根据题目条件，我们有BA=B，因此${B}^{2}=B$。