5.设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律如下.-|||-2 3-|||-X-|||-1 dfrac (1)(6) dfrac (1)(9) dfrac (1)(18)-|||-2 dfrac (1)(3) α β-|||-问:α,β取什么值时X与Y相互独立?

步骤 1：计算边缘分布律
首先，我们需要计算随机变量X和Y的边缘分布律。边缘分布律是联合分布律在某一个变量上的求和。对于X，我们有：
$$ P(X=1) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{18} = \dfrac{1}{2} $$
$$ P(X=2) = \dfrac{1}{3} + \alpha + \beta $$
对于Y，我们有：
$$ P(Y=1) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2} $$
$$ P(Y=2) = \dfrac{1}{9} + \alpha $$
$$ P(Y=3) = \dfrac{1}{18} + \beta $$
步骤 2：确定α和β的值
由于X和Y相互独立，联合分布律等于边缘分布律的乘积。因此，我们有：
$$ P(X=1,Y=1) = P(X=1)P(Y=1) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} $$
但是，根据题目给出的联合分布律，$P(X=1,Y=1) = \dfrac{1}{6}$，因此，我们有：
$$ \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{4} $$
这显然是不成立的，所以需要调整α和β的值，使得联合分布律等于边缘分布律的乘积。我们有：
$$ P(X=1,Y=2) = P(X=1)P(Y=2) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{9} + \alpha = \dfrac{1}{9} $$
$$ P(X=1,Y=3) = P(X=1)P(Y=3) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{18} + \beta = \dfrac{1}{18} $$
$$ P(X=2,Y=1) = P(X=2)P(Y=1) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} $$
$$ P(X=2,Y=2) = P(X=2)P(Y=2) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{9} + \alpha = \alpha $$
$$ P(X=2,Y=3) = P(X=2)P(Y=3) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{18} + \beta = \beta $$
步骤 3：求解α和β
根据步骤2中的等式，我们可以求解α和β的值。我们有：
$$ \dfrac{1}{9} + \alpha = \dfrac{1}{9} $$
$$ \dfrac{1}{18} + \beta = \dfrac{1}{18} $$
$$ \dfrac{1}{3} + \alpha + \beta = \dfrac{1}{2} $$
解得：
$$ \alpha = \dfrac{2}{9} $$
$$ \beta = \dfrac{1}{9} $$