注 类似地，可求解下列题目 已知当x→0时，f(x)=ln(1+x)/(1-x)-2ln(x+sqrt(1+x^2))是x的n阶无穷小，则n= (A. 1.B. 2.C. 3.D. 4.

考查要点：本题主要考查泰勒展开法的应用，通过展开函数表达式，比较两部分展开式的差异，确定函数在$x \to 0$时的无穷小阶数。

解题核心思路：

1. 分别展开两个对数函数，保留到足够高的阶数（至少到$x^3$项）。
2. 相减后找出主导项，即第一个非零的项，其次数即为无穷小的阶数。

破题关键点：

• 正确展开$\ln\frac{1+x}{1-x}$和$2\ln(x+\sqrt{1+x^2})$的泰勒多项式，注意系数计算。
• 对比展开式，通过相减后的结果确定主导项的次数。

步骤1：展开$\ln\frac{1+x}{1-x}$

利用泰勒展开公式：
$\ln\frac{1+x}{1-x} = \ln(1+x) - \ln(1-x) = \left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots\right) - \left(-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots\right)$
合并同类项后得：
$\ln\frac{1+x}{1-x} \approx 2x + \frac{2x^3}{3} + O(x^5)$

步骤2：展开$2\ln(x+\sqrt{1+x^2})$

注意到$x+\sqrt{1+x^2}$的泰勒展开为$1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots$，取对数后展开：
$\ln(x+\sqrt{1+x^2}) \approx x - \frac{x^3}{6} + \cdots$
乘以2得：
$2\ln(x+\sqrt{1+x^2}) \approx 2x - \frac{x^3}{3} + O(x^3)$

步骤3：计算$f(x)$的展开式

将两部分相减：
$f(x) = \left(2x + \frac{2x^3}{3}\right) - \left(2x - \frac{x^3}{3}\right) = \frac{5x^3}{3} + O(x^5)$
主导项为$\frac{5x^3}{3}$，故$f(x)$是$x$的3阶无穷小。