题目
当x→1时,函数dfrac ({x)^2-1}(x-1)(e)^dfrac (1{x-1)}的极限( ) (A)等于2 (B)等于0 (C)为∞ (D)不存在但不为∞
当x→1时,函数
的极限( )
(A)等于2
(B)等于0
(C)为∞
(D)不存在但不为∞
题目解答
答案
D. 不存在但不为∞
解析
步骤 1：化简函数
首先，我们化简函数$\frac{x^{2}-1}{x-1}e^{\frac{1}{x-1}}$。注意到$x^{2}-1$可以分解为$(x-1)(x+1)$，因此函数可以写为$\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}e^{\frac{1}{x-1}}$。当$x \neq 1$时，可以约去$(x-1)$，得到$(x+1)e^{\frac{1}{x-1}}$。
步骤 2：分析极限
现在，我们分析$x \to 1$时，$(x+1)e^{\frac{1}{x-1}}$的极限。当$x \to 1$时，$x+1 \to 2$，而$e^{\frac{1}{x-1}}$的指数$\frac{1}{x-1}$会趋向于无穷大（从正无穷大或负无穷大，取决于$x$从哪一侧接近1）。因此，$e^{\frac{1}{x-1}}$会趋向于无穷大或无穷小，具体取决于$x$接近1的方式。
步骤 3：确定极限是否存在
由于$e^{\frac{1}{x-1}}$在$x \to 1$时趋向于无穷大或无穷小，而$(x+1)$趋向于2，这意味着整个表达式$(x+1)e^{\frac{1}{x-1}}$的极限取决于$e^{\frac{1}{x-1}}$的趋向。由于$e^{\frac{1}{x-1}}$的趋向取决于$x$接近1的方式，这表明极限不存在，但不为无穷大或无穷小。
首先，我们化简函数$\frac{x^{2}-1}{x-1}e^{\frac{1}{x-1}}$。注意到$x^{2}-1$可以分解为$(x-1)(x+1)$，因此函数可以写为$\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}e^{\frac{1}{x-1}}$。当$x \neq 1$时，可以约去$(x-1)$，得到$(x+1)e^{\frac{1}{x-1}}$。
步骤 2：分析极限
现在，我们分析$x \to 1$时，$(x+1)e^{\frac{1}{x-1}}$的极限。当$x \to 1$时，$x+1 \to 2$，而$e^{\frac{1}{x-1}}$的指数$\frac{1}{x-1}$会趋向于无穷大（从正无穷大或负无穷大，取决于$x$从哪一侧接近1）。因此，$e^{\frac{1}{x-1}}$会趋向于无穷大或无穷小，具体取决于$x$接近1的方式。
步骤 3：确定极限是否存在
由于$e^{\frac{1}{x-1}}$在$x \to 1$时趋向于无穷大或无穷小，而$(x+1)$趋向于2，这意味着整个表达式$(x+1)e^{\frac{1}{x-1}}$的极限取决于$e^{\frac{1}{x-1}}$的趋向。由于$e^{\frac{1}{x-1}}$的趋向取决于$x$接近1的方式，这表明极限不存在，但不为无穷大或无穷小。