[题目] lim _(narrow infty )(dfrac (1)({n)^2+1}+dfrac (2)({n)^2+2}+... +dfrac (n)({n)^2+n}) __

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是利用夹逼法则处理求和形式的极限问题。

解题核心思路：
将求和式中的每一项$\dfrac{k}{n^2 +k}$进行上下界估计，通过构造两个易于求和的表达式，分别作为原式的下界和上界，再利用夹逼法则求出极限。

破题关键点：

1. 分母的放缩：对于每一项$\dfrac{k}{n^2 +k}$，当$k$从$1$到$n$时，分母$n^2 +k$的最小值为$n^2 +1$，最大值为$n^2 +n$。
2. 求和转换：将原式夹在$\sum \dfrac{k}{n^2 +n}$和$\sum \dfrac{k}{n^2 +1}$之间，通过求和公式化简后取极限。

步骤1：构造上下界
对于每一项$\dfrac{k}{n^2 +k}$，当$k \in [1, n]$时：

• 下界：分母取最大值$n^2 +n$，即$\dfrac{k}{n^2 +k} \geq \dfrac{k}{n^2 +n}$
• 上界：分母取最小值$n^2 +1$，即$\dfrac{k}{n^2 +k} \leq \dfrac{k}{n^2 +1}$

步骤2：求和并化简
将不等式逐项相加，得到：
$\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2 +n} \leq \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2 +k} \leq \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2 +1}$
提取公因式后：
$\dfrac{1}{n^2 +n} \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} \leq S \leq \dfrac{1}{n^2 +1} \cdot \dfrac{n(n+1)}{2}$
其中$S$为原式。

步骤3：取极限
对上下界分别取极限：

• 下界极限：$\lim_{n \to \infty} \dfrac{n(n+1)/2}{n^2 +n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2/2}{n^2} = \dfrac{1}{2}$
• 上界极限：$\lim_{n \to \infty} \dfrac{n(n+1)/2}{n^2 +1} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2/2}{n^2} = \dfrac{1}{2}$

结论：根据夹逼法则，原式的极限为$\dfrac{1}{2}$。