若(t)=lim _(xarrow infty )t((1+dfrac {1)(x))}^2tx, 则 '(t)= __

考查要点：本题主要考查极限运算与导数计算的结合应用，涉及自然指数函数的极限定义及乘积法则的应用。

解题核心思路：

1. 识别自然指数的极限形式：利用已知极限 $\lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x = e$，将原式变形为与 $e$ 相关的表达式。
2. 化简函数 $f(t)$：通过指数运算规则将原极限表达式转化为 $t e^{2t}$。
3. 应用乘积法则求导：对化简后的函数 $f(t) = t e^{2t}$ 求导，注意处理指数函数的链式法则。

破题关键点：

• 正确处理极限表达式：将 $(1+\dfrac{1}{x})^{2tx}$ 转化为 $[ (1+\dfrac{1}{x})^x ]^{2t}$，从而利用自然指数的极限。
• 准确应用导数规则：乘积法则与链式法则的结合使用，避免漏项或符号错误。

步骤1：化简极限表达式
原函数为：
$f(t) = \lim_{x \to \infty} t \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{2tx}$
将指数部分拆分：
$\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{2tx} = \left[ \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x \right]^{2t}$
根据极限 $\lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x = e$，可得：
$\lim_{x \to \infty} \left[ \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x \right]^{2t} = e^{2t}$
因此，函数化简为：
$f(t) = t \cdot e^{2t}$

步骤2：应用乘积法则求导
对 $f(t) = t \cdot e^{2t}$ 求导：

1. 第一项导数：$\dfrac{d}{dt}(t) = 1$
2. 第二项导数：$\dfrac{d}{dt}(e^{2t}) = 2e^{2t}$（链式法则）
   根据乘积法则：
   $f'(t) = 1 \cdot e^{2t} + t \cdot 2e^{2t} = e^{2t}(1 + 2t)$