已知函数f(x)=x^3-3ax^2+3x+1。 (1)设a=2，求f(x)的单调区间； (2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围。
已知函数$$f(x)=x^3-3ax^2+3x+1$$。
(1)设$$a=2$$，求$$f(x)$$的单调区间；
(2)设$$f(x)$$在区间$$(2,3)$$中至少有一个极值点，求$$a$$的取值范围。
题目解答
答案
(1)当$$a=2$$时，$$f(x)=x^3-3ax^2+3x+1$$，
$$f'(x)=3(x-2+\root \of {3} )(x-2-\root \of {3} )$$，
当$$x\in (-\infty ,2-\root \of {3} )$$时，$$f'(x)﹤0$$，$$f(x)$$在$$(-\infty ,2-\root \of { 3} )$$单调递增；
当$$x\in (2-\root \of {3},2+\root \of {3} )$$时，$$f'(x)﹤0$$，$$f(x)$$在$$(2-\root \of {3},2+\root \of {3} )$$单调递减；
当$$x\in (2+\root \of {3},+\infty )$$时，$$f'(x)﹥0$$，$$f(x)$$在$$(2+\root \of {3},+\infty )$$单调递增。
综上所述，$$f(x)$$的单调递增区间为$$(-\infty ,2-\root \of { 3} )$$和$$(2+\root \of {3},+\infty )$$，
$$f(x)$$的单调递减区间为$$(2-\root \of {3},2+\root \of {3} )$$。
(2)$$f'(x)=3[(x-a)^2+1-a^2]$$，
当$$1-a^2\geqslant 0$$时，$$f'(x)\geqslant 0$$，$$f(x)$$为增函数 ，故$$f(x)$$无极值点；
当$$1-a^2﹤0$$时，$$f'(x)=0$$有两个根：$$x_1=a-\root \of {a^2-1}$$，$$x_2=a+\root \of {a^2-1}$$
由题意知，$$2﹤a-\root \of {a^2-1} ﹤3$$ ① 或 $$2﹤a+\root \of {a^2-1} ﹤3$$ ②，
①式无解，②式的解为$$\frac{5}{4} ﹤a﹤\frac{5}{3}$$，因此$$a$$的取值范围是$$(\frac{5}{4},\frac{5}{3} )$$。
解析
首先，我们需要求出函数$$f(x)=x^3-3ax^2+3x+1$$的导数$$f'(x)$$。当$$a=2$$时，$$f(x)=x^3-6x^2+3x+1$$，因此$$f'(x)=3x^2-12x+3$$。
步骤 2：求导数的零点
接下来，我们需要求出$$f'(x)=0$$的解，即$$3x^2-12x+3=0$$。解这个方程，我们得到$$x=2-\sqrt{3}$$和$$x=2+\sqrt{3}$$。
步骤 3：确定单调区间
根据导数的符号，我们可以确定函数的单调区间。当$$x\in (-\infty,2-\sqrt{3})$$时，$$f'(x)>0$$，函数单调递增；当$$x\in (2-\sqrt{3},2+\sqrt{3})$$时，$$f'(x)<0$$，函数单调递减；当$$x\in (2+\sqrt{3},+\infty)$$时，$$f'(x)>0$$，函数单调递增。
步骤 4：求极值点的条件
对于第二问，我们需要找到$$f(x)$$在区间$$(2,3)$$中至少有一个极值点的条件。极值点出现在导数为零的地方，即$$f'(x)=3x^2-6ax+3=0$$。解这个方程，我们得到$$x=a-\sqrt{a^2-1}$$和$$x=a+\sqrt{a^2-1}$$。为了使极值点在$$(2,3)$$内，我们需要$$2