题目
f(z)=1/(e[^]z-1)在z = π i处的泰勒级数的收敛半径为（ ）A. πB. 2πC. πiD. 2πi
f(z)=1/(e[^]z-1)在z = π i处的泰勒级数的收敛半径为（ ）
A. π
B. 2π
C. πi
D. 2πi
题目解答
答案
A. π
解析
步骤 1：确定函数的奇点
函数$f(z)=\frac{1}{e^z-1}$在$e^z-1=0$时有奇点，即$e^z=1$。解得$z=2k\pi i$，其中$k$为整数。因此，$z=\pi i$是函数的一个奇点。
步骤 2：确定最近的奇点
在$z=\pi i$附近，最近的奇点是$z=0$和$z=2\pi i$。因此，$z=\pi i$到最近的奇点的距离是$\pi$。
步骤 3：确定收敛半径
函数$f(z)$在$z=\pi i$处的泰勒级数的收敛半径是$z=\pi i$到最近的奇点的距离，即$\pi$。
函数$f(z)=\frac{1}{e^z-1}$在$e^z-1=0$时有奇点，即$e^z=1$。解得$z=2k\pi i$，其中$k$为整数。因此，$z=\pi i$是函数的一个奇点。
步骤 2：确定最近的奇点
在$z=\pi i$附近，最近的奇点是$z=0$和$z=2\pi i$。因此，$z=\pi i$到最近的奇点的距离是$\pi$。
步骤 3：确定收敛半径
函数$f(z)$在$z=\pi i$处的泰勒级数的收敛半径是$z=\pi i$到最近的奇点的距离，即$\pi$。